Questão 3585

MACKENZIE 2009

Física

(Mackenzie 2009) As armaduras de um capacitor plano, distanciadas entre si de 1,00 mm, estão submetidas a uma d.d.p. de 1,67 kV. Em um certo instante, um próton (m = 1,67 × 10^-27 kg; q = + e = 1,60 × 10^-19 C) chega ao ponto A com energia de 3,34 × 10^-1 MeV, segundo a direção orientada do eixo x. O ponto A é a origem do sistema de referências. No ponto de abscissa x = 4,00 mm, a ordenada de sua posição é, segundo o referencial indicado na figura,
aproximadamente igual a:

Desprezar os efeitos gravitacionais e os efeitos relativísticos

Dado: 1 MeV = 1,6 × 10^-13

+ 0,20 µm.

- 0,20 µm.

+ 2,00 µm.

- 2,00 µm.

- 20,0 µm.

Gabarito:

- 20,0 µm.

Resolução:

Quando a questão diz que o próton chega em A com energia, essa energia é energia cinética, pois se fosse potencial ela teria que ter dito em qual referencial a energia potencial estava sendo medida, por exemplo, na Terra se um bloco está no chão sua energia potencial é nula se o nível de referência foi o chão, se não for, ele tem energia potencial diferente de zero.
Logo, podemos descobrir o módulo da velocidade do próton quando ele chega no ponto A, pois a direção e sentido a questão já diz, que é no sentido positivo de x. Temos que a energia cinética do próton é $E_{c_{A}}=frac{mv_{A}^{2}}{2}$ , logo $v_{A}=sqrt{frac{2E_{c_{A}}}{m}}$ . Temos que $E_{c_{A}}=0,334 MeV$ e temos que $1 eV=1,6cdot10^{-19} J$ , pois é 1 V vezes a carga de 1 elétron. Logo, $E_{c_{A}}=0,334 MeV=0,334cdot10^{6}cdot1,6cdot10^{-19}=0,5344cdot10^{-13} J$ . Daqui podemos descobrir o módulo da velocidade: $v_{A}=sqrt{frac{2E}{m}}=sqrt{frac{2cdot0,5344cdot10^{-13}}{1,67cdot10^{-27}}}=sqrt{0,64cdot 10^{14}}=sqrt{0,64}cdotsqrt{10^{14}}$ , logo $v_{A}=0,8cdot10^{7} m/s$ .
Agora, temos que descobrir qual a aceleração que o próton vai sofrer. Temos que o capacitor gera um campo do positivo para o negativo, nesse caso, para baixo e como a carga é positiva, temos que a força no próton vai ser para baixo. Como na questão não diz nada sobre a gravidade e mesmo se dissesse, ela seria desprezível pois a massa do próton é muito pequena, nós usaremos apenas a força elétrica que é a única existente aqui. Logo, pela segunda lei de Newton, temos: $F=Ecdot q=mcdot a$ , daí temos que $a=frac{Ecdot q}{m}$ , então temos que descobrir o campo E.
No capacitor, temos que a diferença de potencial obedece à seguinte relação: $Ecdot d= V$ , logo $E=frac{V}{d}$ , onde d é a distância entre as placas e V a ddp entre as placas. Logo $E=frac{1,67 kV}{1 mm}=frac{1,67cdot10^{3} V}{1cdot10^{-3} m}=1,67cdot10^{6} V/m$ . Daqui, temos que $a=frac{Ecdot q}{m}=frac{1,67cdot10^{6}cdot1,6cdot10^{-19}}{1,67cdot10^{-27}}=1,6cdot10^{14} m/s^{2}$ e sabemos que ela aponta para baixo.
Agora como a aceleração é só na vertical, temos que a velocidade horizontal do próton não muda, logo temos como descobrir quanto tempo ele leva para percorrer os 4 mm na horizontal, pois $Delta t=frac{Delta x}{v_{x}}=frac{4 mm}{0,8cdot 10^{7} m/s}=frac{4cdot 10^{-3}}{0,8cdot 10^{7}}=5cdot10^{-10} s$ .
Agora, como a aceleração na vertical é constante, temos que o movimento na vertical é uniformemente acelerado, logo pela equação horária, temos que $Delta y=frac{acdot(Delta t)^{2}}{2}$ , pois a velocidade inicial na vertical é nula. Logo, $Delta y=frac{acdot(Delta t)^{2}}{2}=frac{1,6cdot10^{14}cdot(5cdot10^{-10})^{2}}{2}=frac{1,6cdot25cdot10^{14}cdot10^{-20}}{2}=2cdot10^{-5} mm$ , então: $Delta y=0,02 mm=20 mu m$ para baixo.
Então quando sua abcissa for x=4 mm, sua ordenada será y=-20 μm.

Questão 3585

MACKENZIE 2009

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