Questão 7739

MACKENZIE 1997

Matemática

(MACKENZIE - 1997) No desenvolvimento , $tinmathbb{N}$ , os coeficientes binominais do quarto e do décimo-terceiro termos são iguais. Então o termo independente de x é o:

10º

11º

9º

12º

8º

Gabarito:

11º

Resolução:

Os coeficientes binomiais do quarto e do décimo-terceiro termos são respectivamente $kchoose3$ e $kchoose12$ .
Assim $kchoose3$ = $kchoose12$ e $k=2+13=15.$
Logo o termo geral do desenvolvimento do binômio $(x^2+frac{3}{x})^{15}$ é dado por $T_{p+1}$ = $15choose{p}$ . $(x^2)^{15-p}$ . ${3choose{x}}^p$ =
$15choose{p}$ . $(x)^{30-2p}$ . $3^p$ . $x^{-p}$ = $15choose{p}$ . $3^p$ . $x^{30-3p}$ .
Assim $T_{p+1}$ é o termo independente de x se,e somente se, $30-3p=0$
ou seja $p=10$ .
Portanto o termo independente de x é $T_{10+1}=T_{11}$ ,isto é,o décimo-primeiro termo.