(Mackenzie 1996) Um polinômio P(x), de coeficientes reais e menor grau possível, admite as raízes 1 e i. Se P(0) = -1, então P(-1) vale:
-4
4
-2
2
-1
Gabarito:
-4
Se um polinômio possui coeficientes reais e admite uma raíz complexa z, então o conjugado de z (z') também será raíz do polinômio.
Assim, se p(x) admite 1 e i como raíz, logo ele também admite -i como raíz.
Então, o polinômio p(x) de menor grau possível tem 3 raízes, 1, i e -i.
p(x) = a(z - 1)(z - i)(z + i) = a(z - 1)(z² + 1)
Se p(0) = -1, temos:
p(0) = a(0 - 1)((0)² + 1) = a(-2)(2) = -a = -1, assim, a = 1.
Logo, p(x) = (z - 1)(z² + 1)
Então p(-1) = (-1 - 1)((-1)² + 1) = -4