Questão 6116

MACKENZIE 1996

Matemática

(MACKENZIE - 1996) Com relação à função sobrejetora de $mathbb{R}$ em $A$ definida por $f(x) = 2 - 2^{1-a}$ , sendo $a = |x|$ considere as afirmações:

I) $f(x)$ é par.

II) $f(x) > x^2+1$ , $forall x in mathbb{R}$ .

III) IR₊ - A = [2, + ∞).

Então podemos afirmar que:

apenas I é verdadeira.

apenas I e II são verdadeiras.

apenas I e III são verdadeiras.

apenas III é verdadeira.

todas são verdadeiras.

Gabarito:

apenas I e III são verdadeiras.

Resolução:

1) Verdadeira

$f(x)$ é par se $f(x)=f(-x):$

$large left.egin{matrix}f(x)=2-2^{1-|x|} \ \ f(-x)=2-2^{1-|-x|} end{matrix} ight} ext{Como }|x|=|-x| ext{ entao f(x)=f(-x)}$

Logo f é par.

2) Falsa

$\f(x)>x^2+1Rightarrow 2-2^{1-|x|}>x^2+1\ \ ext{contra-exemplo: }x=3Rightarrow 2-2^{1-|3|}>3^2+1\ \\ 2-{1over2^2}>9+1$

3) Verdadeira

Como $1-a=1-|x|leqslant 1 forall x in mathbb{R}$ , então o valor mínimo de $f(x)$ se dá quando $x=0:;f(0)=2-2^1=0.$

O valor máximo de f(x) se dá quando 1-|x| tende à $-infty$ :

$\f(x)=2-2^{1-|x|}\ \se; x ightarrow infty ;ou ; x ightarrow -infty, ext{entao }|x| ightarrow infty \ \ 1-|x| ightarrow -infty \$

$\2^{1-|x|} ightarrow 0\$ .

Desse modo, o máximo de f(x) é um número muito próximo de 2 e menor que 2.

Então a imagem de f(x) é o intervalo [0;2[

Sendo assim:

$mathbb{R}+-[0;2[=[2;+infty[$

Resposta:

Então I e III são verdadeiras

*EXPLICAÇÃO DO ÚLTIMO ITEM:

conforme |x| aumenta, temos que 1 - |x| fica cada vez menor. Se isso ocorrer, então 2^1-|x|será cada vez mais próximo de 0.

Exemplo: se x = 20, então 1 - |20| = -19. Logo 2^1-|x| = 2^-19 = 1/2¹⁹ = 0,00000019.

Desse modo, se |x| for muito grande, 2^1-|x| será muito próximo de 0 e então f(x) = 2 - 2^1-|x| será muito próximo de 2 - 0 = 2. Mas nunca será definitivamente 2, pois 2^1-|x|nunca será definitivamente 0. Por isso o intervalo de valores de f(x) é aberto em 2: [0; 2[.

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