Questão 10

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Sabendo que $tan(alpha +eta ) = -2$ e $sen(alpha ) = (4-sqrt{5})sen(eta )$ para $alpha,eta epsilon (0,pi/2)$ , calcule

$tanleft ( frac{alpha +eta }{2} ight ), tan left ( frac{alpha -eta }{2} ight )$ e $frac{tanleft ( frac{alpha -eta }{2} ight )}{ tan left ( frac{alpha +eta }{2} ight )}$

Gabarito:

Resolução:

Temos que:

$frac{senalpha }{coseta } = frac{4- sqrt{5}}{1}$

Então:

$frac{sen (alpha) + sen(eta)}{sen(alpha) - sen{eta}} = frac{5- sqrt{5}}{3- sqrt{5}}$

Aplicando Werne, temos que:

$frac{2 sen (frac{alpha + eta}{2}) cos(frac{alpha - eta}{2})}{2 sen (frac{alpha - eta}{2}) cos(frac{alpha + eta)}{2}} = frac{5 - sqrt{5}}{3- sqrt{5}}$

Com isso,

$tg (frac{alpha + eta}{2}) . cotg (frac{alpha - eta}{2}) = frac{5- sqrt{5}}{3 - sqrt{5}}$

Portanto, temos:

$frac{tg (frac{alpha - eta}{2}) }{tg (frac{alpha + eta}{2})} = frac{3 - sqrt{5}}{5 - sqrt{5}} = frac{5 - sqrt{5}}{10}$

Além disso, sabemos que:

$\ tg 2x = frac{2 tg x }{1 - tg^{2}x} \ \ tg ( alpha + eta) = frac{2 tg (frac{alpha + eta}{2})}{1- tg^{2}(frac{alpha + eta }{2})} = -2$

Portanto, temos que:

$\ 2 k = -2 + 2k^{2} \ \ k = tg (frac{alpha + eta}{2}) \ \ k^{2} - k - 1 = 0 \ \ k = frac{1pm sqrt{5}}{2}$

Como alpha + beta é obtuso, podemos encontrar o seguinte:

$tg (frac{alpha + eta}{2} ) = frac{1+ sqrt{5}}{2}$

Veja que (alpha + beta)/2 é agudo.

Com isso, podemos afirmar que:

$tg(frac{alpha - eta}{2}) = frac{5 - sqrt{5}}{10} . frac{1 + sqrt{5}}{2 } = frac{sqrt{5}}{5}$

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