Questão 6

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

O sólido S é formado pela união de dois paralelepípedos retângulos congruentes, com posição e medidas conforme a figura.

Seja $overline{AB}$ um segmento de reta completamente contido em S que contém um dos vértices de S. Encontre o maior valor possível de $m(overline{AB})$ .

Gabarito:

Resolução:

Podemos fazer por semelhança:

Primeiramente, temos o seguinte:

Aplicando semenlhança:

$frac{h}{3} = frac{8k}{5k} \ \ h = frac{24}{5} \ \ AB = sqrt{4^{2} + 8^{2} + frac{24}{5}^{2}} = frac{4sqrt{161}}{5}$

Agora veja o segundo caso:

$frac{h}{3} = frac{5t}{2t} \ \ h = frac{15}{2} \ \ AB = sqrt{4^{2} + 5^{2}+ frac{15}{2}^{2}} = frac{sqrt{545}}{2}$

Veja que 15/2 > 24/5, então A'B' > AB

Portanto, o maior valor possível de m(AB) é $frac{4sqrt{161}}{5}$

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