Questão 48

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Considere a elipse dada pela equação

$lambda x^{2}+(lambda +4)y^{2}-4lambda x-(10lambda +40)y+25(lambda +4)-lambda^{2}=0$

e o círculo de equação

$x^{2}+y^{2}-4x-12y+36=0$

Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de $lambda epsilon mathbb{R}-left { -4,0 ight }$ quando a excentricidade da elipse é máxima é igual a:

13.

15.

Gabarito:

Resolução:

I) Manipulando a equação da elipse, temos:

$lambda (x^{2} -4x + 4) + (lambda + 4)( y^{2} - 10y + 25) = lambda ^{2} + 4lambda$

Portanto:

$frac{(x-2)^{2}}{lambda +4} + frac{(y-5)^{2}}{lambda } = 1$

Veja que temos centro nas coordenadas (2,5)

Lembrando que:

$\ c^{2} = a^{2} - b^{2} = 4 \ \ c = 2$

Portanto, temos que:

$e = frac{c}{a} = frac{2}{sqrt{lambda +4}}$

II) Circunferência:

$(x-2)^{2} + (y-6)^{2} = 4$

Centro (2,6)

Observando no plano cartesiano, temos:

Veja que de acordo com o esquema acima, temos que o eixo menor mínimo da elise , b = 3

Com isso,

$\ sqrt{lambda } = b = 3 \ \ lambda = 9$

Gabarito: C

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