Questão 46

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Sejam $a = 1+3sqrt{3i}$ e $b = 2sqrt{3}+4i$ números complexos. O menor valor $m epsilon mathbb{N}$ tal que $a^{m}=b^{m}$ é:

10.

12.

não existe $m epsilon mathbb{N}$ satisfazendo esta igualdade.

Gabarito:

12.

Resolução:

$a = 1+3sqrt{3i}$ e $b = 2sqrt{3}+4i$

Veja que : $a^{m}=b^{m}$ , então:

$(frac{a}{b})^{m} = 1$

Portanto:

$(frac{1+3sqrt{3i}}{2sqrt{3}+4i} . frac{2sqrt{3}-4i}{2sqrt{3}-4i})^{m} = 1$

$(frac{2sqrt{3}+12sqrt{3} + (-4 +18)i}{28})^{m} = 1$

$(frac{14sqrt{3} + (14)i}{28})^{m} = 1$

$(frac{sqrt{3} + i}{2})^{m} = 1$

$(cosfrac{pi }{6})^{m} = 1$

Com isso, temos:

$cosfrac{m pi }{6} = 1$

Então, m (mínimo) = 12

Gabarito: D

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