Questão 45

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Considere um triângulo ABC e M o ponto médio do lado $overline{BC}$ . Tome o ponto $R eq A$ na reta AB tal que $m(overline{AB}) = m(overline{BR})$ e o ponto Q na reta AC tal que $m(overline{AC)} = 2 m(overline{CQ})$ e Q não esteja no segmento $overline{AC}$ . A reta RM corta o lado $overline{AC}$ no ponto S e a reta QM corta o lado $overline{AB}$ no ponto P. Sendo 24 a área do triângulo ABC, o valor da área do quadrilátero APMS vale:

15.

16.

17.

18.

19.

Gabarito:

17.

Resolução:

Temos que no triangulo ABC, RMS

$\ frac{RA}{RB} . frac{MB}{MC}.frac{SC}{SA} = 1 \ \ frac{2c}{c} . frac{1}{1}. frac{SC}{SA} = 1 \ \ SA = 2SC$

Temos que no triângulo ABC, PMQ

$\ frac{PA}{PB} . frac{MB}{MC}.frac{QC}{QA} = 1 \ \ frac{PA}{PB} . frac{1}{1}. frac{frac{b}{2}}{frac{3b}{2}} = 1 \ \ PA = 3PB$

[ABC] = 24

[ABM] = [ACM] = 12

Veja que:

$[APM] = frac{3}{4}.12 = 9[ASM] = frac{2}{3}.12 = 8$

Portanto, [APMS] = 17

Gabarito: C

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