Questão 43

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Considere um cilindro circular reto tal que a área da sua base A₁, a área da sua superfície lateral A₂ e o seu volume A₃ formem, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. A medida do raio da base pode estar no intervalo:

$left ( 1,frac{5}{4} ight ).$

$left ( frac{5}{4},frac{3}{2} ight ).$

$left (frac{3}{2}, frac{7}{4} ight ).$

$left (frac{7}{4},2 ight ).$

$left (2, frac{5}{2} ight ).$

Gabarito:

$left (2, frac{5}{2} ight ).$

Resolução:

Vamos chamar de R o raio da base e H a altura do cilindro. Com isso, temos que:

$A_{base} = pi R^{2}$

$A_{lateral} = 2 pi RH$

$V_{volume} = pi R^{2}H$

O enunciado disse que esses termos formam uma PG, então:

$(pi R^{2} ) . (pi R^{2}H) = (2 pi RH)^{2}$

Simplificando, temos:

$R^{2} = 4H$

$H = frac{R^{2}}{4}$

Portanto, a razão da PG, é dada por:

$frac{2 pi RH}{pi R^{2}} = frac{2H}{R} = frac{2frac{R^{2}}{4}}{R} = frac{R}{2}$

Como a PG é crescente,

$frac{R}{2} > 1 \ \ R > 2$

Com isso a única alternativa que se encaixa é a letra E

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