Questão 41

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Considere o conjunto C = {1; 2; 3; 4; 5}. Para cada escolha possível de a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ ∈ C, dois a dois distintos, formamos o polinômio

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}$

A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:

$-frac{17125}{4}.$

-1800.

-360.

$-frac{351}{2}.$

$-frac{101}{4}.$

Gabarito:

$-frac{351}{2}.$

Resolução:

I) Temos 120 polinômios, pois 5! = 120, distintos do tipo: $P(x) = a_{4} . x^{4} + a_{3} . x^{3} + a_{2} . x^{2} + a_{1}.x + a_{0}$

Temos que: {a0, a1, a2, a3, a4} = {1,2,3,4,5}

II) Temos que soma das raízes de cada um desses 120 polinômios é dada por:

$S = frac{-a_{3}}{a_{4}}$

III) Sobre os pares ordenados temos que existem $A_{5,2} = 5.4 = 20$ (a3, a4) e temos que para cada um deles 3! = 6 maneiras diferentes de escolher o termo a0 ; a1 ; a2.

IV) Com isso podemos concluir que para ordenado (a3;a4) temos 6 polinômios diferentes e para os 6, a soma das raízes são as mesmas.

V) Podemos calcular as 20 somas, com isso multiplicar cada uma por 6 e portanto, somar os 20 resultados.

VI) Podemos calcular da seguinte forma:

$a_{4} = 1 ; a_{4} = 2 ; a_{4} = 3 ; a_{4} = 4 ; a_{4} = 5$

1) $a_{4} = 1$

$6 . (- frac{2}{1} - frac{3}{1} - frac{4}{1} - frac{5}{1}) = 6 (-14) = -84$

2) $a_{4} = 2$

$6 . (- frac{1}{2} - frac{3}{2} - frac{4}{2} - frac{5}{2}) = 6 (- frac{13}{2}) = -39$

3) $a_{4} = 3$

$6 . (- frac{1}{3} - frac{2}{3} - frac{4}{3} - frac{5}{3}) = 6 (- frac{12}{3}) = -24$

4) $a_{4} = 4$

$6 . (- frac{1}{4} - frac{2}{4} - frac{3}{4} - frac{5}{4}) = 6 (- frac{11}{4}) = -16,5$

5) $a_{4} = 5$

$6 . (- frac{1}{5} - frac{2}{5} - frac{3}{5} - frac{4}{5}) = 6 (- frac{10}{5}) = -12$

Então a soma das raízes dos 120 polinômios é igual a :

$-84 -39-24-16,5-12 = -175,5$

Veja que -175,5 = - 351/2

Portanto, gabarito letra D

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