Questão 7

ITA 2022

Física

(ITA - 2022 - 2ª fase) Considere o circuito ilustrado abaixo com uma fonte de tensão alternada senoidal de 60 Hz e tensão de pico de 120 V, um diodo ideal sujeito a uma diferença de potencial V_d, dois resistores, cujas resistências elétricas valem 50Ω e 100Ω , e um reostato de resistência variável R. Um diodo é um dispositivo eletrônico que permite a passagem de corrente em apenas um sentido (V_d > 0).

Faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Descreva e esboce o gráfico da corrente i(t) que atravessa o restato quando este está configurado para oferecer uma resistência elétrica de R = 25Ω .

b) Determine o valor de R que proporciona uma transferência máxima de potência da fonte alternada ao reostato.

Gabarito:

Resolução:

a) Da primeira Lei de Kirchhoff:

$i(t) = i_{total} - i_{50}$ , considerando os momentos em que a tensão da fonte é positiva e maior que $V_d$ , já que quando a tensão assume valores menores que $V_d$ não circula corrente graças à presença do diodo.

Da segunda Lei de Kirchhoff:

$V_{fonte} - V_d -100i_{total} - 25i(t) = 0$ .

Da associação em paralelo obtemos

$50i_{50} = 25i(t)$ , logo $i_{50} = frac{i(t)}{2}$ .

Isso implica que $i_{total} = 1,5i(t)$

Logo, $V_{fonte} - V_d = 175i(t)$ .

$i(t) = frac{120cos(omega t) -V_d}{175}$ .

Este é o esboço do gráfico da corrente $i(t)$ em função do tempo.

b) Das análises já feitas acima, podemos escrever que $50i_{50} = RI(t)$ em que $I(t)$ é a nova corrente que circula pelo reostato.

E nesse novo caso $i_{total} = (frac{R}{50} +1)I(t)$ .

Continua valendo que $V_{fonte} - V_d - 100i_{total} -RI(t) = 0$ .

$V_{fonte}-V_d = RI(t) + (2R+100)I(t)$

$I(t) = {V_{fonte}-V_d}{3R+100}$

A potência dissipada no reostato será

$P = RI(t)^2$

$P = (V_{fonte}-V_d)^2cdotfrac{R}{(3R+100)^2}$

Para encontrarmos qual o valor de $R$ para a situação de máxima potência dissipada podemos analisar os pontos críticos, utilizando a derivada em relação a $R$ :

$frac{mathrm{d} P}{mathrm{d} R}= (V_{fonte}-V_d)^2cdot frac{mathrm{d}(frac{R}{(3R+100)^2})}{mathrm{d}R}$ .

$frac{mathrm{d} P}{mathrm{d} R}= (V_{fonte}-V_d)^2cdot(frac{1}{(3R+100)^2} + frac{Rcdot(-6)}{(3R+100)^3})$ .

$frac{mathrm{d} P}{mathrm{d} R}= (V_{fonte}-V_d)^2cdotfrac{3R+100 -6R}{(3R+100)^3}$ .

$frac{mathrm{d} P}{mathrm{d} R} = (V_{fonte}-V_d)^2cdotfrac{100-3R}{(3R+100)^3}$

Queremos analisar quando que a potência será máxima, logo, a derivada primeira que encontramos acima deve ser igual a zero.

Isso irá acontecer quando $3R = 100$

Portanto, $R = frac{100}{3} Omega$ .

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