Questão 5

ITA 2022

Física

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Uma cidade localiza-se ao nível do mar, próxima à costa oceânica à oeste e a poucos quilômetros de uma cordilheira. Durante o dia, uma brisa constante úmida de ar flui da costa para a montanha. Um barômetro localizado na cidade indica uma pressão de 100 kPa a temperatura de 25ºC. Por sua vez, um outro barômetro localizado no ponto mais alto da cordilheira indica uma pressão de 80 kPa. Considere que o calor específico molar do ar a volume constante vale 2R. Se necessário, considere ²√2 ≈ 1,26 e ³√10 ≈ 2,15.

(a) Estime a temperatura no ponto mais alto da cordilhera em Kelvin.
(b) Considerando uma umidade relativa Φ₀ = 50% a nível do mar e Φ₁ = 10% no ponto mais alto da cordilheira, estime o volume de água em m³ que precipita por hora na trajetória da brisa entre a cidade e o pico se o fluxo médio de ar seco que alcança o topo da cordilheira for de 2,0 x 10⁹ kg/h.
(c) Explique qualitativamente a razão pela qual desertos se formam no lado continental das cordilheiras.

Gabarito:

Resolução:

a) Para estimar a temperatura no ponto mais alto da cordilhera vamos supor que a transformação sofrida pelo ar nessa subida seja adiabática.

Sendo assim, vale a expressão $PV^gamma = C$ , em que C é uma constante.

Da Lei geral dos gases: PV = nRT.

Logo, $frac{T^gamma}{P^{gamma -1}} = frac{C}{nR}$ .

Sendo n e R constantes, podemos escrever a relação entre os dois momentos como sendo:

$frac{T_1^gamma}{P_1^{gamma -1}} = frac{T_2^gamma}{P_2^{gamma -1}}$ .

Em que $gamma = frac{c_p}{c_v}$ e $c_p = c_v +R$ .

Logo, na nossa situação $c_p = 3R$ , implicando que $gamma = frac{3}{2}$ .

Vamos substituir os dados do enunciado:

$frac{298^gamma}{100^{gamma -1}} = frac{T_2^gamma}{80^{gamma -1}}$

$frac{298^frac{3}{2}}{100^{frac{3}{2} -1}} = frac{T_2^frac{3}{2}}{80^{frac{3}{2} -1}}$

$T_2^3 = frac{298^3*80}{100}$

$T_2 = frac{298*2}{sqrt[3]{10}}$

$T_2 = frac{298*2}{2,15} = 277,2 K$ .

b) Vamos observar as pressões máximas de vapor do gráfico para as temperaturas das duas localidades analisadas:

Então, no topo a pressão de vapor é 0,10*0,8kPa e no nível do mar a pressão de vapor é 0,5*3,4kPa. Já que a umidade relativa no topo é de 10% e no nível do mar a umidade relativa é de 50%.

Assim, temos as pressões de vapor P_V2 = 0,08kPa e P_V1 = 1,7kPa, para o topo e para o solo respectivamente.

No solo temos a seguinte relação:

$frac{n_{agua solo}}{n_{ar seco}} = frac{P_{v1}}{P_1 - P_{v1}} = frac{1,7}{98,3} = 1,7\%$

No topo temos a seguinte relação:

$frac{n_{agua topo}}{n_{ar seco}} = frac{P_{v2}}{P_2 - P_{v2}} = frac{0,08}{79,92} = 0,1\%$

Como a quantidade de ar seco é constante podemos escrever

$frac{n_{agua solo} - n_{agua topo}}{n_{ar seco}} = 1,6\%$ .

Ou seja, a variação da quanitdade de matéria de água sobre a quantidade de matéria de ar seco é 1,6%.

$frac{frac{Delta_{massa de agua}}{MM_{agua}}}{frac{massa_{ar seco}}{MM_{ar seco}}} = 1,6\%$

$frac{frac{Delta_{massa de agua}}{18}}{frac{2*10^9}{29}} = 1,6\%$

$Delta_{massa de agua}= 1,6\%cdot frac{36*10^9}{29} approx 2,0*10^7 kg/h$

Como a densidade da água é 10^3 kg/m³, teremos uma precipitação de aproximadamente 2,0*10⁴ m³/h.

c) A cordilheira atua como uma barreira para o ar úmido, não permitindo o avanço dessa massa de ar carregada de água para dentro do continente.

A massa de ar precisa passar pelo topo da cordilheira para chegar no lado continental, e como vimos nos outros itens, há uma diminuição da úmidade presente na massa.

Ou seja, a quantidade de ar que passa pela montanha sofrerá uma diminuição, já que grande parte é barrada físicamente, e a parte de ar que passar pela montanha possuirá uma umidade relativa muito baixa, sendo assim a precipitação de água do lado continental é muito prejudicada e isto favorece a formação dos desertos.

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