Questão 10

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que se tenha a ocorrência de 2 caras. Qual a probabilidade de um número total de lançamentos ser par?

Gabarito:

Resolução:

Queremos formar uma sequência de 2n lançamentos, onde:

1) Último elemento é cara (C)

2) Nos 2n - 1 restantes temos 1 cara (C) e 2n - 2 coroas (K), por exemplo:

K C K K K C → último elemento C

Fixamos o último termo como C e nos 2n - 1 restantes temos:

n_fav = 2n - 1 permutaações possíveis. Logo:

$P=frac{n_{fav}}{n(pi)}=frac{2n-1}{2^{2n}}$ . Daí:

$egin{matrix} P= &sum_{n=1}^{infty}frac{2n-1}{2^{2n}}= &underbrace{sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^{2n-1}}}- &underbrace{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^{2n}}} \ & &S1 &S2 end{matrix}$

• Para S1: $left{egin{matrix} S1= &frac{1}{2}+frac{2}{2^3}+frac{3}{2^5}+frac{4}{2^7} \frac{S1}{4}=& frac{1}{2^3}+frac{2}{3^3}+frac{3}{2^7}+frac{4}{2^9} end{matrix} ight.$

$egin{matrix} frac{3S1}{4}= &underbrace{frac{1}{2}+frac{1}{2^3}+frac{1}{2^5}+frac{1}{2^7}+... }\ & PG infinita end{matrix}$

$a_1=frac{1}{2}, q=frac{1}{4}$

$frac{3S1}{4}=frac{frac{1}{2}}{1-frac{1}{4}}=frac{2}{3} ightarrow S1=frac{4}{9}$

• Para S2: $egin{matrix} S2= &underbrace{frac{1}{4}+frac{1}{16}+frac{1}{64}+...} \ & PG infinita end{matrix}$

$a_1=frac{1}{4}, q=frac{1}{4}$

$S2=frac{frac{1}{4}}{1-frac{1}{4}}=frac{1}{3}$ .

Logo, $P=S1-S2$

$P=frac{4}{9}-frac{1}{3}$

$P=frac{1}{9}$

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