Questão 44

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 1ª FASE) Considere a curva plana definida pela equação $9x^{2}+4y^{2}+36x+24y+36=0$ . O ponto P = (0,0), é vértice de um retângulo circunscrito à curva. Então a equação da circunferência circunscrita ao retângulo é:

$(x+2)^{2}+(y+3)^2=9$

$(x+3)^{2}+(y+2)^2=9$

$(x-2)^{2}+(y-3)^2=13$

$(x+2)^{2}+(y+3)^2=13$

$(x+3)^{2}+(y+2)^2=13.$

Gabarito:

$(x+2)^{2}+(y+3)^2=13$

Resolução:

[D]

$9x^{2}+4y^{2}+36x+24y+36=0$

completando os quadrados, temos:

$(3x)^{2}+2cdot 3xcdot 6+(2y)^{2}+2cdot 2ycdot 6+36=0$

$(3x+6)^{2}+(2y+6)^{2}=36$

$frac{(x+2)^{2}}{4}+frac{(y+3)^{2}}{9}=1$

elipse com centro C (-2, -3)

a = 3; b = 2

$a^{2}=b^{2}+c^{2}Rightarrow c=sqrt{5}$

Em azul, o retângulo mencionado no enunciado.

Logo, a circunferência circunscrita terá centro (-2, -3) e raio dado pela metade da diagonal do retângulo

$(2R)^{2}=6^{2}+4^{2}$

$4R^{2}=36+16=52Rightarrow 4R^{2}=52Rightarrow R^{2}=13$

Logo:

$(x+2)^{2}+(y+3)^{2}=13$

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