Questão 3

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

O primeiro termo de uma progressão geométrica de números reais é 1 e a soma de seus primeiros 79 termos é igual ao produto de seus primeiros 13 termos. Determine:

(a) a soma dos 40 primeiros termos;

(b) o produto dos 7 primeiros termos.

Gabarito:

Resolução:

$a_1 = 1$ e $q$ é a razão.

Soma dos primeiros 79 termos é $S_{79}$ .

$S_{79} = a_1 frac{(1-q^{79})}{(1-q)} ightarrow S_{79} = 1 imes frac{(1-q^{79})}{(1-q)} (I)$

E o produto dos 13 primeiros termos chamaremos de $P_{13}$ e vale:

$P_{13} = a_1 imes (a_1 q) imes (a_1q^2) imes ... imes (a_1q^{12}) =$

$=1 imes q^1 imes q ^2 imes q^3 imes ... imes q^{12} =$

$= q^{(1+2+3+4+...+12)} = q^{78} ightarrow P_{13} =q^{78} (II)$

De I e II temos que $S_{79} = P_{13} =$

$= frac {1-q^{79}}{1-q} = q^{78} ightarrow 1-q^{79} = q^{78} cdot (1-q) =$

$1-q^{79} = q^{78} - q^{77} ightarrow q^{78} = 1 ightarrow q = pm 1$

mas que deve ser $eq 1 ightarrow q = -1$

a) A soma dos 40 primeiros termos é :

$S_{40}=frac{1(-1)^{40}-1}{-1-1}=0$

b) O produto dos 7 primeiros termos: $1 cdot (- 1) cdot 1 cdot (- 1) cdot 1 cdot (- 1) cdot 1 =-1$

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