Questão 1

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isóceles cujas bases e altura têm comprimento de 4, 2 e 3, respectivamente.

Gabarito:

Resolução:

$m^{2}+(frac{b}{2})^{2}=R^{2} ightarrow m=sqrt{R^{2}-frac{b^{2}}{4}}$

$n^{2}+(frac{b}{2})^{2}=R^{2} ightarrow n=sqrt{R^{2}-frac{B^{2}}{4}}$

$m+n=h ightarrow h=sqrt{R^{2}-frac{b^{2}}{4}}+sqrt{R^{2}-frac{B^{2}}{4}}$

$h=3, B=4 e b=2$

$3=sqrt{R^{2}-1}+sqrt{R^{2}-4}$

$3^{2}=(sqrt{R^{2}-1}+sqrt{R^{2}-4})^{2}$

$9=R^{2}-1+R^{2}-4+2sqrt{(R^{2}-1).(R^{2}-4)}$

$14-2R^{2}=2sqrt{R^{4}-5R^{2}+4}$

$(7-R^{2})^{2}=(sqrt{R^{4}-5R^{2}+4})^2$

$49-14R^{2}+R^{4}=R^{4}-5R^{2}+4$

$9R^{2}=45 ightarrow R^{2}=frac{45}{9}=5$

$R=sqrt{5}$

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