Questão 54

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 1ª FASE) Seja $z in mathbb{C}$ . Se a representação dos números 4, z + 2 e z² no plano complexo são vértices de um triângulo equilátero, então o comprimento do seu lado é igual a:

A

3.

B

$sqrt{10}$ .

C

$sqrt{11}$ .

D

$2sqrt{3}$ .

E

$sqrt{13}$ .

Gabarito:

$sqrt{13}$ .

Resolução:

Do enunciado, temos:

Z₁ = 4, Z₂ = Z + 2 e Z₃ = Z²

Como Z₁, Z₂e Z₃formam um triângulo equilátero pode-se dizer que:

$left | Z_{1}-Z_{2} ight |=left | Z_{1}-Z_{3} ight |=left | Z_{1}-Z_{3} ight |$

De $left | Z_{1}-Z_{2} ight |=left | Z_{1}-Z_{3} ight |$ , temos que :

$left | 4-(Z+2) ight |=left | 4-Z^{2} ight |$

$left | Z-2 ight |=left | Z^{2}-4 ight |$

$left | Z-2 ight |=left | (Z-2)(Z+2) ight |$

$left | Z+2 ight |=1 mapsto (1)$

De $left | Z_{1}-Z_{3} ight |=left | Z_{2}-Z_{3} ight |$ , temos que:

$left | 4-Z^{2} ight |=left | Z+2-Z^{2} ight |$

$left | (Z+2)(Z-2) ight |=left | (Z-2)(Z+1) ight |$

$left | Z+2 ight |=left | Z+1 ight | mapsto (2)$

Substituindo $Z=a+bi, aepsilon mathbb{R}; e : bepsilonmathbb{R}$ , em (2) temos:

$frac{left | a+bi+2 ight |}{sqrt(a+2)^{2}+b{2}}=frac{left | a+bi+1 ight |}{sqrt(a+1)^2+b^2}$ ,

$a^2+4a+4=a^2+2a+1 Rightarrow a=-frac{3}{2}$

Substituindo $a=-frac{3}{2}$ em (1), temos:

$left | -frac{3}{2}+bi+2 ight |=1$

$sqrt{left ( -frac{1}{2}^2+b^2 ight )}=1$

$frac{1}{4}+b^2=1$

$b=pm frac{sqrt3}{2}$

Como $l=left | Z_1-Z_2 ight |$ , onde $l$ é o lado do triângulo equilátero, temos:

$l=left | 4-(Z+2) ight |=left | Z-2 ight |$

$l = left | -frac{3}{2}pm frac{sqrt3}{2}i-2 ight |$

$l = left | -frac{7}{2}pm ifrac{sqrt3}{2} ight |$

$l =sqrt{left (-frac{7}{2} ight )^2+left ( frac{sqrt3}{2} ight )^2}$

$l=sqrt{frac{49+3}{4}}$

$l=sqrt{frac{52}{4}}$

$l=sqrt{13}$

Alternativa correta: letra E

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