Questão 53

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 1ª FASE) Pretende-se distribuir 48 balas em 4 tigelas designadas pelas letras A, B, C, e D. De qantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas contenham ao menos 3 balas e a tigela B contenha a mesma quantidade que a tigela D.

190

361

722

1083

1444

Gabarito:

361

Resolução:

Considerando x, y, z e w a quantidade de balas, temos que

$x+y+z+w eq 48$

Com $xgeq 3,ygeq 3,zgeq 3 e wgeq 3$ podemos fazer que

$x=x+3, y=y+3, z=z+3 e w=w+3$

Logo:

$x+y+z+w=36$

Como $z=w$

temos que

$x+y+2z=36$

Com isso, fazendo a substituição de valores para $z$ :

$x+y=36$
$x+y=34$
$x+y=32$
.
.
.
$x+y=2$
$x+y=0$

Logo, temos que para cada valor de $z$ , teremos as possibilidades:

$CR_{2}^{36}=C_{2+36-1}^{36}=C^{36}_{37}=37$
$CR_{2}^{34}=C_{2+34-1}^{34}=C^{34}_{35}=35$
$CR_{2}^{32}=C_{2+32-1}^{32}=C^{32}_{33}=33$
.
.
.
$CR_{2}^{2}=C_{2+2-1}^{2}=C^{2}_{3}=3$
$CR_{2}^{0}=C_{2+0-1}^{0}=C^{0}_{1}=1$

Perceba que trata-se de uma PA.

Logo, n=19 a₁=1 a_n=37

$S=frac{(1+37).19}{2}=361$

Alternativa B

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