Questão 45

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 1ª FASE) Considere um triângulo ABC tal que m $(overline{AB})=14$ , $cos(widehat{BAC})=frac{3}{5}$ e $cos(widehat{ABC})=frac{5}{13}.$ Então, o raio da cicunferência inscrita ao triângulo é igual a:

$2sqrt{2}$

$4sqrt{2}$

Gabarito:

Resolução:

Informações dadas pelo enunciado:

$cos(widehat{BAC})=frac{3}{5}=cos(eta)$

$cos(widehat{ABC})=frac{5}{13}=cos(alpha)$

$Delta ABC ightarrow m(AB)=14$

Pela Identidade Fundamental da Trigonometria:

$sen(alpha)=frac{12}{13}$ e $sen(eta)=frac{4}{5}$

Trabalhando com o terceiro ângulo:

$alpha+eta+ heta=180^circ$

$heta=180^circ-alpha-eta$

$sen( heta)=sen(180^circ-alpha-eta)$

$sen( heta)=sen(alpha+eta)$

$sen( heta)=sen(alpha)cdot cos(eta)+sen(eta)cdot cos(alpha)$

$sen( heta)=frac{12}{13}cdot frac{3}{5}+frac{4}{5}cdot frac{5}{13}$

$sen( heta)=frac{56}{65}$

Pela Lei dos Senos:

$frac{x}{sen(eta)}=frac{y}{sen(alpha)}=frac{14}{sen( heta)} ightarrow frac{x}{frac{4}{5}}=frac{y}{frac{12}{13}}=frac{14}{frac{56}{65}}$

Desenvolvendo as equações:

$x=13$ e $y=15$

Semiperímetro do triângulo:

$P=frac{x+y+14}{2}=21$

Área do triângulo:

$A_{ABC}=frac{14 cdot y cdot sen(eta)}{2}$

$A_{ABC}=7 cdot 15 cdot frac{4}{5}$

$A_{ABC}=84$

Fórmula para se encontrar o raio da circunferência inscrita:

$A_{ABC}=P cdot r$

$84=21 cdot r$

$r=4$

Alternativa correta é Letra D.

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