Questão 4

ITA 2018

Física

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

Seja um cometa numa órbita elíptica com as distâncias do afélio, r_a, e periélio, r_p. Com o Sol num dos focos como origem de um sistema de coordenadas polares, a equação que descreve o módulo do vetor posição r em função do ângulo $heta$ medido a partir do periélio é $mathrm{r( heta) = alpha / (1 + varepsilon , cos , heta)}$ , em que $alpha$ e $varepsilon$ são constantes, sendo $0 < varepsilon < 1$ . Expresse a excentricidade e, a constante $alpha$ e o período da órbita em função de r_a e r_p.

Gabarito:

Resolução:

$mathrm{r( heta ) = frac{alpha}{1 + varepsilon , cos , heta}}$

Para $mathrm{ heta = 0 ^{circ} Rightarrow r ( heta ) = r_p}$

$mathrm{r_p = frac{alpha }{1 + varepsilon} (I)}$

Para $mathrm{ heta = 180 ^{circ} Rightarrow r( heta) = r_a}$

$mathrm{r_a = frac{alpha}{1 - varepsilon} (II)}$

De (I) e (II), obtemos que:

$mathrm{varepsilon = frac{r_a - r_p}{r_a + r_p} }$ e $mathrm{alpha = frac{2r_a r_p}{r_a + r_p}}$

Pela 3ª Lei de Kepler, temos:

$mathrm{frac{T^2}{R^3} = frac{4 pi ^2}{GM}}$ , onde $mathrm{R = frac{r_a + r_p}{2}}$

$mathrm{T^2 = left ( frac{r_a + r_p}{2} ight )^3 cdot frac{4 pi ^2}{GM}}$

$mathrm{ herefore T = 2 pi sqrt{frac{(r_a + r_p)^3}{8GM}}}$

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