Questão 1

ITA 2018

Física

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

Uma prancha homogênea de massa m é sustentada por dois roletes, interdistantes de $2 ell$ , que giram rapidamente em sentidos opostos, conforme a figura. Inicialmente o centro de massa da prancha dista x da linha intermediária entre os roletes. Sendo $mu$ o coeficiente de atrito cinético entre os roletes e a prancha, determine a posição do centro de massa da prancha em função do tempo.

Gabarito:

Resolução:

Isolando a barra, temos:

$left{egin{matrix} N_1 + N_2 = mg \ Fat - Fat_2 = ma end{matrix} ight. Rightarrow left{ egin{matrix} N_1 + N_2 = mg \ mu left ( N_1 - N_2 ight ) = ma end{matrix} ight. mathrm{(I)}$

Para o equilíbrio rotacional, devemos ter:

$N_1 ( ell - x) - N_2 (ell + x) = 0 Rightarrow N_1 ell - N_1 x - N_2 ell - N_2 x = 0 Rightarrow$

$Rightarrow left ( N_1 - N_2 ight ) ell = left ( N_1 + N_2 ight ) x mathrm{(II)}$

De (I) em (II), temos que:

$mathrm{N_1 - N_2 = frac{mgx}{ell}}$

Logo, a força restauradora será:

$mathrm{F_R = mu left ( N_1 - N_2 ight ) = frac{mu mg x}{ell }}$

Como $mathrm{F_R = kx Rightarrow k = frac{mu mg}{ell}}$ , e:

$mathrm{omega = sqrt{frac{k}{m}} = sqrt{ frac{mu g}{ell }}}$

A posição do CM será descrita pela equação:

$mathrm{x(t) = x , cos , omega t}$

$mathrm{ herefore x(t) = x , cos left ( sqrt {frac{ug}{ell}} cdot t ight )}$

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