Questão 34966

ITA 2018

Física

(ITA - 2018 - 1 FASE)

Dois recipientes A e B de respectivos volumes V_A e V_B = βV_A constantes, contêm um gás ideal e são conectados por um tubo fino com válvula que regula a passagem do gás, conforme a figura. Inicialmente o gás em A está na temperatura T_Asob pressão P_Ae em B, na temperatura T_B sob pressão P_B. A válvula é então aberta até que as pressões finais P_Af e P_Bf alcancem a proporção P_Af/P_Bf = α, mantendo as temperaturas nos seus valores iniciais. Assinale a opção com a expressão de P_Af.

Gabarito:

Resolução:

Como a quantidade de matéria é conservada, temos:

$n_{inicial}=n_{final}$

$n_{A}+n_{B}=n_{A_{f}}+n_{B_{f}}$

$frac{P_{A}V_{A}}{T_{A}R}+frac{P_{B}V_{B}}{T_{B}R}=frac{P_{A_{f}}V_{A}}{T_{A}R}+frac{P_{B_{f}}V_{B}}{T_{B}R}$

$frac{P_{A}V_{A}T_{B}+P_{B}V_{B}T_{A}}{T_{A}T_{B}R}=frac{P_{A_{f}}V_{A}T_{B}+P_{B_{f}}V_{B}T_{A}}{T_{A}T_{B}R}$

$P_{A}.V_{A}.T_{B}+P_{B}.eta V_{A}.T_{A}=P_{A_{f}}.V_{A}.T_{B}+P_{B_{f}}.eta V_{A}.T_{B}$

$P_{A}.T_{B}+eta P_{B}.T_{A}=P_{A_{f}}.T_{B}+frac{P_{A_{f}}}{alpha}.eta T_{A}$

$P_{A}.T_{B}+eta P_{B}.T_{A}=frac{P_{A_{f}}alpha T_{B}+P_{A_{f}}eta T_{A}}{alpha}$

$P_{A_{f}}=frac{P_{A}T_{B}+eta P_{B}T_{A}}{frac{alpha T_{B}+eta T_{A}}{alpha}}$

Dividindo toda a fração, denominador e numerador, por $P_{A}T_{B}$ , temos:

$P_{A_{f}}=frac{frac{P_{A}T_{B}+eta P_{B}T_{A}}{P_{A}T_{B}}}{frac{T_{B}+frac{eta T_{A}}{alpha}}{P_{A}T_{B}}}$

$P_{A_{f}}=frac{1+ frac{eta P_{B}T_{A}}{P_{A}T_{B}}}{frac{T_{B}}{T_{B}}+frac{eta T_{A}}{alpha T_{B}}}=frac{1+frac{eta P_{B}T_{A}}{P_{A}T_{B}}}{1+frac{eta}{alpha}frac{T_{A}}{T_{B}}}$

$P_{A_{f}}=[(1+eta frac{P_{B}}{P_{A}}.frac{T_{A}}{T_{B}})/(1+eta frac{T_{A}}{T_{B}})]P_{A}$

Chegamos assim à alternativa C.

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