Questão 34959

ITA 2018

Física

(ITA - 2018 - 1 FASE) Quatro corpos pontuais, cada qual de massa m, atraem-se mutuamente devido à interação gravitacional. Tais corpos encontram-se nos vértices de um quadrado de lado L girando em torno do seu centro com velocidade angular constante. Sendo G a constante de gravitação universal, o período dessa rotação é dado por

$2 pi mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4-sqrt2}{2} ight )}}$

$frac{4 pi}{3} mathrm{sqrt{frac{sqrt 2 , L^3}{3Gm}}}$

$mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4 + sqrt2}{7} ight )}}$

$2 pi mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4- sqrt 2}{7} ight )}}$

$mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4 + sqrt 2}{2} ight )}}$

Gabarito:

$2 pi mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4- sqrt 2}{7} ight )}}$

Resolução:

$R=Lfrac{sqrt2}{2}$

$F_{A}=F_{C}=frac{G m^{2}}{L^{2}}$

$F_{B}=frac{G m^{2}}{(Lsqrt2)^{2}}=frac{G m^{2}}{2L^{2}}$

$F_{R}=frac{G m^{2}}{L^{2}}.sqrt2+frac{G m^{2}}{2L^{2}}$

$F_{R}=frac{G m^{2}}{L^{2}}.(sqrt2 +frac{1}{2})$

$F_{R}=F_{cp}=m omega ^{2}.frac{Lsqrt2}{2}$

$frac{G m^{2}}{L^{2}}(frac{2sqrt2 +1}{2})=momega ^{2}Lfrac{sqrt2}{2}$

$omega ^{2}=frac{G m}{L^{3}}.frac{(2sqrt2 +1)}{sqrt2}$

$omega=sqrt{frac{G m}{L^{3}}(frac{2sqrt2 +1}{sqrt2})}=frac{2pi}{T}$

$T=2pi.sqrt{frac{L^{3}}{G m}frac{sqrt2}{(2sqrt2 +1)}}$

Contudo:

$frac{sqrt2}{2sqrt2 +1}.frac{2sqrt2 -1}{2sqrt2-1}=frac{4-sqrt2}{7}$

$T=2pisqrt{frac{L^{3}}{G m}.(frac{4-sqrt2}{7})}$

Chegamos assim à alternativa D.

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