Questão 7

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 1ª FASE)

O número de soluções inteiras da inequação 0 ≤ x² − | 3x² + 8x | ≤ 2 é

Gabarito:

Resolução:

$0 leq x^2-left | 3x^2+8x ight | leq 2$

Podemos dizer que: $x^2 = |x|$ , e reescrever a inequação por:

$0 leq |x|^2-left | 3x^2+8x ight | leq 2$

$0 leq |x|^2-|x||3x+8| leq 2$

$0 leq |x|(|x|-3|x+frac{8}{3}|) leq 2$

x = 0 é solução trivial do problema !!!

Podemos interpretar geometricamente esse problema a partir de:

$|x|$ é a distância de um ponto para a origem

$|x+frac{8}{3}|$ é a distância de um ponto para -8/3

Desse modo, devemos ter que:

CASO 1) Se x > 0, o ponto está mais próximo de 0 que de -8/3, logo $|x|-3|x+frac{8}{3}| < 0$ , o que impossibilita a solução

CASO 2) Se está entre -8/3 e 0, ou x = -1 ou x = -2, Por inspeção, percebemos que x = -2 é solução !!!

CASO 3) Para x menor que -8/3:

$0 leq -x(-x+3(x+frac{8}{3})) leq 2$

$0 leq -2x^2-8x leq 2$

$left{egin{matrix} 0 leq -2x^2-8x \ -2x^2-8x leq 2 end{matrix} ight. Rightarrow left{egin{matrix} 0 leq -2x(x+4) \ x^2+4x+1 geq 0 end{matrix} ight. Rightarrow left{egin{matrix} -4 leq x leq 0\ x geq sqrt{3}-2 ,,,, ou ,,,, x leq -sqrt{3}-2 end{matrix} ight.$

Fazendo as intersecções das soluções notamos que apenas x = -4 satisfaz as condições e é inteiro.

Logo, temos 3 soluções inteiras, a saber 0,-2 e -4

Questão 7

ITA 2017

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