Questão 1

Gabarito:

nenhuma delas. 

Resolução:

1. FALSA. Para que ocorre bijeção, a função deve ser injetora e sobrejetora. Nesse caso, é necessário que, se a função é f: A ---> B, então o número de elementos de A deve ser igual ao número de elementos de B.

Como temos os conjuntos X e Y, com X⊂Y , mas X  Y, então o número de elementos de X é menor que o número de elementos de Y. Logo não é possível que f seja bijetora.

2. FALSA. A função injetora f: Y ---> X é tal que cada imagem em X corresponda à apenas um ÚNICO elemento de Y. Como Y possui mais elementos que X, então não há imagens suficientes em X para que ocorra injeção.

3. FALSA. O número de funções injetoras f: X ---> Y é o número de arranjos possíveis dos elementos m de Y tomados n a n, sendo n o número de elementos de X. Então, sendo I o número de injetoras de f, temos:

I = m!/(m-n)!

O número S de funções sobrejetoras g: Y ---> X é dado por:

S =  

 

Contudo, não é simples de provar isso, é melhor que o candidato tenha decorado essa expressão. 

Mas podemos fazer uso de um contra-exemplo para mostrar que 3 é falsa. 

Consideremos Y = {a, b, c} e X = {a}

O número de funções injetoras f: X ---> Y é: I = 3!/(3-1)! = 3!/2! = 3

O número de funções sobrejetoras g: Y ---> X é

{(a,a), (b,a), (c,a)}    (caso único)

Isto é, 1 função sobrejetora.