Questão 1

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Considere as retas de equações $r : y = sqrt{2} x + a$ e $s: y = bx + c$ , em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por (0, 1) e s, por (√2 , 4), determine a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x.

Gabarito:

Resolução:

Para determinar a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x, é preciso determinar as coordenadas de seus vértices.

Vértice A: interseção da reta r com eixo x (x_A,0)

Vértice B: interseção da reta s com o eixo x (x_B, 0)

Vértice C: interseção das retas r e s (x_C, y_C)

Primeiramente, vamos calcular os coeficientes a, b e c para determinarmos as equações das retas r e s.

$r: y=sqrt2 cdot x+a$

Substituindo o ponto (0,1) em r, temos:

$1=sqrt2 cdot 0+a$

$a=1$

$r: y=sqrt2cdot x+1$

$s: y=bcdot x+c$

Sendo b o coeficiente angular da reta s, $sqrt2$ o coeficiente angular da reta r, e sabendo que r e s são perpendiculares, temos que:

$b=-frac{1}{sqrt2}=-frac{sqrt2}{2}$

Substituindo o ponto ( $sqrt2$ ,4) em s:

$4 = -frac{sqrt2}{2}. sqrt2+c$

$4 = -1+c$

$c=5$

$s: y=-frac{sqrt2}{2}cdot x+5$

Determinando o Vértice A: (x_A,0)

$0=sqrt2cdot x_A+1$

$x_A=- frac{1}{sqrt2}=-frac{sqrt2}{2}$

Determinando o Vértice B: (x_B,0)

$0=-frac{sqrt2}{2}cdot x_B+5$

$x_B= frac{10}{sqrt2}=5sqrt2$

Determinando o Vértice C: (x_c, y_c)

$sqrt2 cdot x_c +1 = -frac{sqrt2}{2}cdot x_c+5$

$frac{3}{2}sqrt2 cdot x_c= 4$

$x_c= frac{8}{3sqrt2}=frac{4sqrt2}{3}$

$y_c= sqrt2 cdot frac{4sqrt2}{3} + 1$

$y_c= frac{8}{3}+1=frac{11}{3}$

Para calcular a Área do Triângulo ABC, basta fazer $A = frac{1}{2}b cdot h$

b = base = x_B - x_A

h = altura = y_c

$A = frac{1}{2}cdot (5sqrt2-(-frac{sqrt2}{2}))cdot frac{11}{3}$

$A = frac{121 sqrt2}{12}$

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