Questão 8

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Um triângulo retângulo com hipotenusa $c = 2(1+sqrt{6})$ está circunscrito a um circulo de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto.

Gabarito:

Resolução:

A área total do cone é dada por:

$A_T = A_b+A_l=pi R^2+ pi Rg$

Precisamos conhecer os valores de R e g do cone para calcular sua área.

O raio R da base do cone será igual ao valor do lado AB no triângulo retângulo, de medida $(1+a)$ , e a geratriz g será a hipotenusa, de medida $2(1+sqrt{6})$ .

Usando Teorema de Pitágoras:

$(a+b)^2=(1+a)^2+(1+b)^2$

$a^2+2ab+b^2=1+2a+a^2+1+2b+b^2$

$2ab=1+2a+1+2b$

$ab=1+a+b$

$ab=1+2(1+sqrt6)=3+2sqrt6$

Resolvendo o sistema:

$left{egin{matrix} a+b=2(1+sqrt6)\ a.b=3+2sqrt6 end{matrix} ight.$

Encontramos:

$a=-1+sqrt6$ ou $a=3+sqrt6$

Como o raio da base é o menor cateto, consideraremos:

$a=-1+sqrt6$

$R=overline{AB}=1+a=sqrt6$

Substituindo o valor do raio da base e a geratriz na fórmula da área total do cone, tem-se:

$A_T = A_b+A_l=pi R^2+ pi Rg$

$A_T = pi (sqrt6)^2+ pi (sqrt6).2(1+sqrt6)$

$A_T=2(sqrt{6}+9)pi$

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