Questão 9

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Determine o conjunto das soluções reais da equação

$3cossec^{2}left ( frac{x}{2} ight )-tg^{2}x = 1$

Gabarito:

Resolução:

$3cossec^{2}left ( frac{x}{2} ight )-tg^{2}x = 1$

$3cossec^{2}left ( frac{x}{2} ight ) = 1+tg^{2}x$

Aplicando as identidades:

$cossec;alpha=frac{1}{sen;alpha}$ , $1+tg^2alpha=sec^2alpha$ e $sec;alpha=frac{1}{cos;alpha}$ , temos:

$frac{3}{sen^{2}left ( frac{x}{2} ight )} = frac{1}{cos^2(x)}$ (I)

Usando a identidade trigonométrica $sen^2(a)=frac{1-cos(2a)}{2}$ , temos:

$sen^2left (frac{x}{2} ight )=frac{1-cos(x)}{2}$ (II)

Substituindo (II) em (I):

$frac{3}{frac{1-cos(x)}{2}} = frac{1}{cos^2(x)}$

$3cos^2(x) = frac{1-cos(x)}{2}$

$6cos^2(x)+cos(x)-1 =0$

Fazendo $y = cos(x)$ , temos:

$6y^2+y-1 =0$

Resolvendo a equação de 2º grau, encontramos:

⁽ⁱ⁾ $y=-frac{1}{2}$ ou ⁽ⁱⁱ⁾ $y=frac{1}{3}$

(i) $cos(x)=-frac{1}{2}Rightarrow x=pm frac{2pi}{3}+2npi, n in mathbb{Z}$

(ii) $cos(x)=frac{1}{3}Rightarrow x=pm arccosfrac{1}{3}+2npi, n in mathbb{Z}$

Portanto a solução da equação é:

$S= left { -frac{2pi}{3}+2npi; -arccosleft ( frac{1}{3} ight )+2npi; arccosleft ( frac{1}{3} ight )+2npi;frac{2pi}{3}+2npi/n in mathbb{Z} ight }$

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