Questão 4

Gabarito:

Resolução:

Como se tratam de funções sobrejetivas, todos os elementos do contradomínio A tem que estar a associados a pelo menos um elemento do domínio B.

Dessa forma, há duas possibilidades de se essa configuração:

 

Na primeira, dividimos o conjunto B em 3 subconjuntos, de 2, 2 e 1 elemento.
Na segunda, dividimos o conjunto B em 3 subconjuntos, de 3, 1 e 1 elemento.

1) De quantas formas diferentes podemos fazer a primeira configuração?
De quantas formas diferentes pode-se escolher 2, 2 e 1 elementos de um conjunto de 5?

Se trata de uma combinação: primeiro, escolhemos 4 dos 5 elementos e desse conjunto de 4 elementos, de quantas formas podemos escolher 2?

Obs: temos que dividir por 2 para cancelar os casos análogos do tipo: se escolhermos x e y do conjunto de 4 elementos, automaticamente os outros dois serão w e z. Se escolhermos w e z, os outros serão x e y, portanto ao fazer a C_4,2 estamos contando duas vezes escolhas iguais.

2) De quantas formas diferentes podemos escolher 3 elementos de um conjunto de 5?

Note que calculamos as formas de se dividir o conjunto B, mas esse conjunto B estará associado a 3 elementos do conjunto A e não consideramos a ordem dessa associação. Logo, devemos permutar as 3 associações possíveis:

Portanto, temos o primeiro caso OU o segundo caso e a permutação de cada um deles:

Portanto, são 150 funções possíveis.