Questão 3

ITA 2017

Física

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

De uma planície horizontal, duas partículas são lançadas de posições opostas perfazendo trajetórias num mesmo plano vertical e se chocando elasticamente no ponto de sua altitude máxima – a mesma para ambas. A primeira partícula é lançada a 30° e aterriza a 90°, também em relação ao solo, a uma distância L de seu lançamento. A segunda é lançada a 60^o em relação ao solo. Desprezando a resistência do ar, determine:

a) a relação entre as massas das partículas,

b) a distância entre os pontos de lançamento e

c) a distância horizontal percorrida pela segunda partícula.

Gabarito:

Resolução:

a) Sabemos que a altura máxima atingida pelas particulas é a mesma, portanto, a componente vertical de v_A e v_B tem o mesmo valor.

Podemos, dessa forma, relacionar o módulo das velocidades iniciais v_A e v_B.

$v_{Ay}=v_{By}$

$v_{A}.sen(30)=v_{B}.sen(60)$

$v_{A}.frac{1}{2}=v_{B}.frac{sqrt3}{2}$

$v_{A}=v_{B}.sqrt3$

A relação entre as componentes horizontais de v_A e v_B será:

$v_{Ax}=v_A.cos(30)$

$v_{Bx}=v_B.cos(60)$

$frac{v_{Ax}}{v_{Bx}}=frac{v_A.frac{sqrt3}{2}}{v_B.frac{1}{2}}$

$frac{v_{Ax}}{v_{Bx}}=frac{v_A.sqrt3}{v_B}$

$frac{v_{Ax}}{v_{Bx}}=frac{(v_Bsqrt3).sqrt3}{v_B}$

$v_{Ax}=3v_{Bx}$

Se a partícula A aterriza com um ângulo de 90°, isso implica que v_Axf=0.

Como a colisão é elástica:

$v_{Bxf}=4v_{Bx}$

Pela Lei de Conservação da Quantidade de Movimento: (eixo x)

$Q_i=Q_f$

$m_A.v_{Ax}-m_B.v_{Bx}=m_B.v_{Bxf}$

$m_A.3v_{Bx}-m_B.v_{Bx}=m_B.4v_{Bx}$

$m_A.3v_{Bx}=m_B.4v_{Bx}+m_B.v_{Bx}$

$m_A.3v_{Bx}=m_B.5v_{Bx}$

$frac{m_A}{m_B}=frac{5v_{Bx}}{3v_{Bx}}$

$frac{m_A}{m_B}=frac{5}{3}$ (Resposta da letra a)

b) Sendo os tempos de subida iguais e considerando a relação entre as velocidades no eixo x, temos:

$t_s = frac{d_A}{v_{Ax}}$ e $t_s = frac{d_B}{v_{Bx}}$

$frac{d_A}{v_{Ax}}=frac{d_B}{v_{Bx}}$

$frac{d_A}{3v_{Bx}}=frac{d_B}{v_{Bx}}$

${d_A}=3{d_B}$

Se ${d_A}=L$ , ${d_B}=frac{L}{3}$ .

A distância entre os lançamentos será dada por d_A+d_B

${d}=frac{4L}{3}$ m (Resposta da letra b)

c) Para a componente horizontal do movimento:

Se a velocidade final de B é 4 vezes a velocidade inicial, B irá percorrer uma distância igual a 4 vezes a distância percorrida antes da colisão.

Antes da colisão: ${d_B}=frac{L}{3}$

Depois da colisão: ${d_B}=frac{4L}{3}$

Distância total: ${d_B}=frac{5L}{3}$ m (Resposta da letra c)

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