Questão 2

ITA 2017

Física

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Suponha que a atmosfera de Vênus seja composta dos gases CO₂, N₂, Ar, Ne e He, em equilíbrio térmico a uma temperatura T = 735 K.

a) Determine a razão entre a velocidade quadrática média das moléculas de cada gás e a velocidade de escape nesse planeta.

b) Que conclusão pode ser obtida sobre a provável concentração desses gases nessa atmosfera? Obs.: Considere Vênus com o raio igual ao da Terra e a massa igual a 0,810 vezes a desta.

Gabarito:

Resolução:

a) A velocidade quadrática média de cada gás pode ser obtida pela equação:

$frac{mv^2}{2}=frac{3RT}{2} Rightarrow v=sqrt{frac{3RT}{m}}$ , sendo m = M(massa molar)

Usando os dados de massa molar de cada elemento

M_C = 12 u, M_O = 16 u, M_N = 14 u, M_Ar = 40 u, M_Ne = 20 u, M_He = 4 u

podemos calcular a massa molar de

CO₂, N₂, Ar, Ne e He

M_CO2= 44.10⁻³kg/mol,

M_N2=28.10⁻³kg/mol,

M_Ar=40.10⁻³kg/mol,

M_Ne = 20.10⁻³kg/mol,

M_He = 4.10⁻³kg/mol.

Agora podemos calcular a velocidade quadrática média para cada gás:

$v_{CO_2}=sqrt{frac{3RT}{m}}Rightarrow v_{CO_2}=sqrt{frac{3.8,3.735}{44.10^{-3}}}=645m/s$

$v_{N_2}=sqrt{frac{3RT}{m}}Rightarrow v_{N_2}=sqrt{frac{3.8,3.735}{28.10^{-3}}}=808m/s$

$v_{Ar}=sqrt{frac{3RT}{m}}Rightarrow v_{Ar}=sqrt{frac{3.8,3.735}{40.10^{-3}}}=676m/s$

$v_{Ne}=sqrt{frac{3RT}{m}}Rightarrow v_{Ne}=sqrt{frac{3.8,3.735}{20.10^{-3}}}=957m/s$

$v_{He}=sqrt{frac{3RT}{m}}Rightarrow v_{He}=sqrt{frac{3.8,3.735}{4.10^{-3}}}=2139m/s$

Agora precisamos calcular a velocidade de escape de Vênus para depois encontrarmos a razão pedida na letra a.

Dados: Massa da Terra: 6, 0 × 10²⁴kg. Raio da Terra: 6, 4 × 10⁶m

$frac{mv^2_e}{2}=frac{G.M.m}{R}$

$v_e=sqrt{frac{2.G.M}{R}}=sqrt{frac{2.G.M_{v}}{R_{v}}}$ , sendo M_V=0,81M_T e R_V=R_T.

$v_e=sqrt{frac{2.6,7.10^{-11}.0,81.6.10^{24}}{6,4.10^6}}$

$v_e=10.10^3 m/s$

A razão entre a velocidade quadrática média de cada gás e a velocidade de escape é:

(basta dividir v por 10⁴ em cada caso)

para CO₂: 0,06

para N₂: 0,08

para Ar: 0,07

para Ne: 0,10

para He: 0,21

b) Quanto maior a velocidade quadrática média da molécula, maior a chance de que ela atinja a v_e e escape. Portanto, quanto maior a velocidade quadrática média, menor a concentração de moléculas.

A concentração de gases na atmosfera em ordem crescente deverá obedecer a seguinte sequência:

He, Ne, N_2, Ar e CO₂

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