Questão 27

ITA 2015

Química

(ITA - 2015 - 2ª Fase)

Com base no modelo atômico de Bohr:

a) Deduza a expressão para o módulo do momento angular orbital de um elétron na n-ésima órbita de Bohr, em termos da constante da Planck, h.

b) O modelo de Bohr prevê corretamente o valor do módulo do momento angular orbital do elétron no átomo de hidrogênio em seu estado fundamental? Justifique.

Gabarito:

Resolução:

$egin{matrix} (1)&Delta E=E_f-E_i=frac{hc}{lambda} end{matrix}$

$egin{matrix} (2)&frac{1}{lambda}=Rcdot egin{pmatrix} frac{1}{n_f^2}-frac{1}{n_i^2} end{pmatrix} end{matrix}$

Substituindo 2 em 1, temos:

$egin{matrix} (3)&Delta E=hccdot end{matrix}Rcdot egin{pmatrix} frac{1}{n_f^2}-frac{1}{n_i^2} end{pmatrix}$

Por nível:
$egin{matrix} (4)&E=-frac{hc R}{n^2}end{matrix}$

Sabendo que (5) E = E_c + E_p

$egin{matrix} (6)&E_c=frac{mv^2}{2}end{matrix}$

$egin{matrix} (7)&E_p=-frac{e^2}{4pi varepsilon _0 r}end{matrix}$

Substituindo 4, 6 e 7 em 5:

$egin{matrix} (8)&-frac{hc R}{n^2}=frac{mv^2}{2}-frac{e^2}{4pi varepsilon _0 r}end{matrix}$ *

$egin{matrix} (9)F_c=F_eRightarrow frac{mv^2}{r}=frac{1}{4pi varepsilon _0}cdotfrac{ e^2}{r^2}end{matrix}$

$egin{matrix} (10)&frac{e^2}{4pivarepsilon _0r}=mv^2end{matrix}$

Substituindo 10 em 8:

$egin{matrix} (11)&-frac{hcR}{n^2}=frac{mv^2}{2}-mv^2end{matrix}$

$egin{matrix} (12)&-frac{hcR}{n^2}=-frac{mv^2}{2}end{matrix}$

$egin{matrix} (13)&mv^2=-frac{2hcR}{n^2}end{matrix}$ **

Substituindo 13 em 8:

$egin{matrix} (14)&frac{e^2}{4pivarepsilon _0r}=frac{2hcR}{n^2}end{matrix}$

$egin{matrix} (15)&r=frac{e^2n^2}{8pivarepsilon _0hcR} end{matrix}$

Tirando a raiz de 13:

$egin{matrix} (16)&v=sqrt{frac{2hcR}{mn^2}} end{matrix}$

Momento angular orbital = mvr, em que:

$egin{matrix} (17)&mvr=msqrt{frac{2hcR}{mn^2}}cdot frac{e^2n^2}{8pivarepsilon _0hcR}end{matrix}$

Substituindo o valor de R dado:

$egin{matrix} (18)&mvr=msqrt{frac{2hcfrac{me^4}{8varepsilon _0^2h^3c}}{mn^2}}cdot frac{e^2n^2}{8pivarepsilon _0hcfrac{me^4}{8varepsilon _0^2h^3c}}end{matrix}$

$egin{matrix} (19)&mvr=msqrt{frac{2hc}{mn^2}}cdot frac{e^2n^2}{8pivarepsilon _0hcsqrt{frac{me^4}{8varepsilon _0^2h^3c}}}end{matrix}$

Fazendo as manipulações matemáticas:

$egin{matrix} (20)&mvr=frac{hn}{2pi}end{matrix}$

Não é possível, pois não se consegue prever a posição e o momento linear simultaneamente pelo princípio da incerteza.

Questão 27

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