Questão 30

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) (2ª fase) Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de 3 cm e 4 cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ângulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro.

Gabarito:

Resolução:

Seja ABCD um retângulo que representa a folha usada na construção, com lados $AB = CD = 3$ e $BC = DA = 4$ e seja a figura a seguir o tetraedro construído a partir dela, com altura BE em relação à aresta AC passando pelo ponto B:

Precisamos descobrir as medidas AC e BD para, para descobrirmos as arestas restantes.

Planificando a figura acima, podemos construir uma reta paralela a BE passando pelo ponto D. Dessa forma temos a seguinte figura:

Para calcular a diagonal AC, basta usarmos o teorema de Pitágoras, sendo assim temos:

$AC^2 = DA^2 + CD^2$

$AC^2 = 4^2 + 3^2$

$AC^2 = 25$

$AC = 5$

Olhando para o triângulo retângulo ABC, temos:

$BEcdot AC = ABcdot BC$

$BEcdot 5 = 3cdot 4$

$BE = frac{12}{5}$

Note que os triângulos AEB e DFC são congruentes, e por tanto, $FC = AE = frac{12}{5}$ e que $EB = FD$

Olhando para o triângulo AEB, temos que:

$AE^2 + EB^2 = AB^2$

$frac{12}{5}^2 + EB^2 = 3^2$

$EB^2 = 9 - frac{144}{25}$

$EB^2 = frac{81}{25}$

$EB= frac{9}{5}$

Olhando para a diagonal AC, temos:

$AC = AE + EF + FC$

$EF = 5 - frac{18}{5}$

$EF = frac{7}{5}$

Agora olhando para o triângulo retângulo EFD, teremos:

$ED^2 = EF^2 + FD^2$

$ED^2 = left (frac{7}{5} ight )^2 + left ( frac{12}{5} ight )^2$

$ED^2 = frac{193}{25}$

Após calcularmos todos esses segmentos, agora podemos olhar para o triângulo retângulo BED.

$BD^2 = BE^2 + ED^2$

$BD^2 = left ( frac{144}{25} ight ) + left ( frac{193}{25} ight )$

$BD^2 = frac{337}{25}$

$BD= frac{sqrt{337}}{5}$

Por tanto as medidas das arestas do tetraedro são:

$AB = 3$ , $BC = 4$ , $CD = 3$ , $DA = 4$ , $AC = 5$ e $BD= frac{sqrt{337}}{5}$

Questões relacionadas

Questão 302

Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. II. . III. é um número racional. É (são) verdadeira...

Questão 303

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Seja A, B e C os subconjuntos de definidos por , e . Então, é o conjunto

Questão 304

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Se , então o valor de 2 arcsen (Re(z)) + 5 arctg (2 Im(z)) é igual a

Questão 305

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x + 4y - 4 = 0 e s : 3x + 4y - 19 = 0. A área do círculo determinado por C &eacu...