Questão 26

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) Três pessoas, aqui designadas por A, B e C realizam o seguinte experimento: A recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal + ou o sinal –, passando em seguida a B, que mantém ou troca o sinal marcado por A e repassa o cartão a C. Este, por sua vez, também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. Sendo de $frac{1}{3}$ a probabilidade de A escrever o sinal + e de $frac{2}{3}$ as respectivas probabilidades de B e C trocarem o sinal recebido, determine a probabilidade de A haver escrito o sinal + sabendo-se ter sido este o sinal ao término do experimento.

Gabarito:

Resolução:

Queremos encontrar a probabilidade de A ter escrito o siinal positivo, dado a condição de que o experimentou terminou com o sinal + também.

Seja:

$P(A^{+})$ a probabilidade A escrever +;
$P(B^{t})$ a probabilidade de B trocar;
$P(C^{t})$ a probabilidade de C trocar;
$P(A^{+} mid oplus )$ a probabilidade de A ter escrito +, dado que o resultado final foi + também.

Temos que:

$P(A^{+}) = frac{1}{3}$ , $P(B^{t}) = frac{2}{3}$ e $P(C^{t}) = frac{2}{3}$

$P(A^{+} mid oplus ) = dfrac{P(A^{+}cap oplus)}{P(oplus)}$

Agora vamos desenvolver algumas dessa probabilidades:

>> $P(A^{+}cap oplus)$ : Para que o resultado final seja + sabendo-se que A escreveu +, temos duas possibilidades, ou B e C trocam o sinal, ou B e C não trocam o sinal.

No primeiro caso, temos: $frac{1}{3}cdot frac{2}{3}cdot frac{2}{3} = frac{4}{27}$ e no segundo, temos: $frac{1}{3}cdot frac{1}{3}cdot frac{1}{3} = frac{1}{27}$ . Portanto, teremos que:

$P(A^{+}cap oplus) = frac{4}{27} + frac{1}{27} = frac{5}{27}$

>> $P(oplus)$ : Será a soma da probabilidade calculada anteriormente com a probabilidade de A ter escrito - e apenas um de B e C trocado o sinal, ou seja:

$P(oplus) = P(A^{+}cap oplus) cup P(A^{-}cap oplus)$

$P(oplus) = frac{5}{27} + frac{2}{3} cdot frac{1}{3} cdot frac{2}{3} + frac{2}{3} cdot frac{2}{3} cdot frac{1}{3}$

$P(oplus) = frac{13}{27}$

Usando os valores encontrados podemos calcular $P(A^{+} mid oplus )$ :

$P(A^{+} mid oplus ) = dfrac{P(A^{+}cap oplus)}{P(oplus)} = dfrac{frac{5}{27}}{frac{13}{27}} = frac{5}{13}$

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