Questão 23

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) (2ª fase) Sabe-se que 1, B, C, D e E são cinco números reais que satisfazem às propriedades:

I. B, C, D, E são dois a dois distintos;

II. os números 1, B, C, e os números 1, C, E, estão, nesta ordem, em progressão aritmética;

III. os números B, C, D, E, estão, nesta ordem, em progressão geométrica.

Determine B, C, D, E.

Gabarito:

Resolução:

Como 1; B; C estão em PA, temos que: $B = frac{1+C}{2}$ .

E como 1; C; E estão em uma PA, temos: $C = frac{1+E}{2} Rightarrow 2C = 1 + E Rightarrow E = 2C - 1$

Como B; C; D; E está em uma PG e seja q a razão dessa progressão, a razão q será:

$q = frac{C}{B} = frac{C}{frac{C+1}{2}} = frac{2C}{C+1}$

Continuando olhando para a progressão geométrica, temos que:

$E = Ccdot q^2 Rightarrow 2C-1 = Ccdot left ( frac{2C}{C+1} ight )^2 Rightarrow$

$Rightarrow 2C - 1= Ccdot left ( frac{4C^2}{C^2+2C+1} ight ) Rightarrow$

$Rightarrow left (2C - 1 ight ) left (C^2+2C+1 ight ) = left ( 4C^3 ight ) Rightarrow$

$Rightarrow 2C^3+3C^2-1 = 4C^3 Rightarrow$

$Rightarrow 2C^3 - 3C^2 +1 = 0 Rightarrow (C-1)^2cdot (2C+1) = 0$

Resolvendo essa equação de terceiro grau, temos que ela será verdadeira para $C = 1$ e $C = -frac{1}{2}$ . Porém caso $C = 1$ , teremos que o B também vale 1, contudo eles são distintos e portanto o único valor possível é $C = -frac{1}{2}$ .

Portanto, nós teremos:

$B = frac{1+C}{2} = frac{1-frac{1}{2}}{2} = frac{1}{4}$
$C = -frac{1}{2}$
$D = Ccdot q = C cdot left ( frac{2C}{C+1} ight ) = -frac{1}{2} cdot left ( frac{2cdot left (-frac{1}{2} ight )}{left (-frac{1}{2} ight )+1} ight ) = 1$
$E = 2C -1 = 2cdot left ( -frac{1}{2} ight )-1 = -2$

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