Questão 312

ITA 2015

Matemática

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Sejam α e β números reais tais que α, β, α + β ∈ ]0; 2π[ e satisfazem as equações

Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a

Gabarito:

Resolução:

Tendo $x=cosfrac{alpha }{2}$ e $y.=cosfrac{eta }{3}$ com $frac{alpha }{2 } epsilon [0;pi ]$ e $frac{eta }{3} epsilon [0;2pi ]$ , obtemos:

$egin{align*} x^{2} &= frac{4}{5}x^{4}+frac{1}{5}\ y^{2} &= frac{4}{7}y^{4}+frac{3}{7} end{align*}$

$egin{align*} 4x^{4} -5x^{2}&=0 \ 4y^{4}-7y^{2}+3 &= 0 end{align*}$

$egin{align*} (x^{2}-1)(x^{2}-frac{1}{4}) &= 0\ (y^{2}-1)(y^{2}-frac{3}{4})&= 0 end{align*}$

$egin{align*} frac{alpha }{2} &= frac{pi }{3}\ frac{eta }{3} &= frac{pi }{6} end{align*}$

Desse modo:

$alpha +eta =frac{7pi }{6}$

Logo:

$cosfrac{7pi }{6}= - frac{sqrt{3}}{2}$

Gabarito: b)

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