Questão 24

ITA 2015

Física

(ITA – 2015) (2ª fase) Uma carga q ocupa o centro de um hexágono regular de lado d tendo em cada vértice uma carga idêntica q. Estando todas a sete cargas interligadas por fios inextensíveis, determine as tensões em cada um deles.

Gabarito:

Resolução:

Vamos analisar as forças que atuam em um ponto específico do hexágono, sabendo desse ponto os outros serão iguais por simetria, colocando uma carga em cada ponto vamos analisar primeiro a distância de uma carga até a outra. Vamos pegar a carga 2 como referência:

A distância de 1-2 vale d / de 5-2 vale 2d / de 3-2 e 7-2 vale d / e a de 4-2 e 6-2 vale x onde devemos encontrar esse valor agora:

Pela lei dos senos podemos falar que $frac{d}{sen(30)}=frac{x}{sen(120)}Rightarrow frac{d}{frac{1}{2}}=frac{x}{frac{sqrt{3}}{2}}Rightarrow x=dsqrt{3}$

Com isso vamos calcular a força realizada por cada carga:

Primeiro as cargas que estão na horizontal com a carga 2, a carga 1 e 5:

Aplicando a lei de Coulomb temos:

$F=frac{K.q1.q2}{D^2}Rightarrow F1=frac{K.q^2}{d^2} / F5=frac{K.q^2}{(2d)^2}=frac{K.q^2}{4d^2}$

Agora vamos calcular para as cargas 3 e 7:

Podemos notar que o ângulo formado pelas duas forças é o mesmo ângulo interno do hexágono por isso vale 120° . Além disso essas forças tem componentes em x e em y mas pelas forças terem o mesmo módulo e direções diferentes as forças do eixo y irão se anular enquanto a do eixo x irão se somar ficando da seguinte maneira:

Então vamos calcular somente as componentes x:

$\F3x=frac{K.q^2}{d^2}cos(60)Rightarrow F3x=frac{K.q^2}{d^2}.frac{1}{2} Rightarrow / \F7x=frac{K.q^2}{d^2}cos(60)Rightarrow F7x=frac{K.q^2}{d^2}.frac{1}{2}$

agora vamos calcular as forças das cargas 4 e 6:

O ângulo de 30 foi obtido analisando os ângulos como foi feito na hora de descobrir a distância entre 4 e 2 com isso pela mesma simetria do caso anterior nesse caso as forças em y irão se anular sobrando somente as forças em x:

$\F4x=frac{K.q^2}{(dsqrt{3})^2}cos(30)Rightarrow F4x=frac{K.q^2}{3d^2}.frac{sqrt{3}}{2} Rightarrow F4x=frac{K.q^2}{d^2}.frac{sqrt{3}}{6} / \F6x=frac{K.q^2}{(dsqrt{3})^2}cos(30)Rightarrow F6x=frac{K.q^2}{3d^2}.frac{sqrt{3}}{2} Rightarrow F6x=frac{K.q^2}{d^2}.frac{sqrt{3}}{6}$

Somando todas as forças temos Fr= força resultante então:

$Fr=F1+F5+F3x+F7x+F4x+F6x$ sabendo que F3=F7 e F4=F6 vou apenas simplificar como $Fr=F1+F5+2.F3x+2.F4x$

$Fr=frac{K.q^2}{d^2}+frac{K.q^2}{4d^2}+2.frac{K.q^2}{d^2}.frac{1}{2}+2.frac{K.q^2}{d^2}.frac{sqrt{3}}{6}$

Fazendo as simplificações e colocando Kq²/d² em evidência temos:

$Fr=frac{K.q^2}{d^2}(1+frac{1}{4}+1+frac{sqrt{3}}{3})=frac{K.q^2}{d^2}.(frac{27+4sqrt{3}}{12})$

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