Questão 297

ITA 2015

Física

Numa expansão muito lenta, o trabalho efetuado por um gás num processo adiabático é

em que P, V, T são respectivamente, a pressão, o volume e a temperatura do gás, e uma constante, sendo os subscritos 1 e 2 representativos, respectivamente, do estado inicial e final do sistema. Lembrando que PV é constante no processo adiabático, esta fórmula pode ser reescrita deste modo:

$frac{P_{1}left [ V_{1} - V_{2}(T_{2}/T_{_{1}})^{gamma /(gamma -1)} ight ]}{In(T_{2}/T_{1})/In(V_{1}/V_{2})}$

$frac{P_{2}left [ V_{1} - V_{2}(T_{2}/T_{_{1}})^{gamma /(gamma -1)} ight ]}{In(T_{2}/T_{1})/In(V_{2}/V_{1})}$

$frac{P_{2}left [ V_{1} - V_{2}(T_{2}/T_{_{1}})^{gamma /(gamma -1)} ight ]}{In(T_{2}/T_{1})/In(V_{1}/V_{2})}$

$frac{P_{1}left [ V_{1} - V_{2}(T_{2}/T_{_{1}})^{gamma /(gamma -1)} ight ]}{In(T_{2}/T_{1})/In(V_{2}/V_{1})}$

$frac{P_{2}left [ V_{1} - V_{2}(T_{2}/T_{_{1}})^{gamma /(gamma -1)} ight ]}{In(T_{1}/T_{2})/In(V_{2}/V_{1})}$

Gabarito: $frac{P_{1}left [ V_{1} - V_{2}(T_{2}/T_{_{1}})^{gamma /(gamma -1)} ight ]}{In(T_{2}/T_{1})/In(V_{1}/V_{2})}$

Resolução:

1)Temos PV^y constante, logo podemos assumir que:

$P_{1}V_{1}^{y}=P_{2}V_{2}^{y}$

$PV^{y}=PV^{y+1-1}=PV^{y}.frac{V}{V}=P.V.frac{V^{y}}{V}$

Como $P.V=n.R.T$ , logo

$(n.R.T_{1}).frac{V_{1}^{y}}{V_{1}}=(n.R.T_{2}).frac{V_{2}^{y}}{V_{2}} ightarrow T_{1}V_{1}^{y-1}=T_{2}V_{2}^{y-1} (1)$

2)De (1), podemos tirar:

$T_{1}^{-1}V_{1}^{1-y}=T_{2}^{-1}V_{2}^{1-y} ightarrow T_{2}V_{1}^{1-y}=T_{1}V_{2}^{1-y} ightarrow \ ightarrow ln(T_{2}V_{1}^{1-y})=ln(T_{1}V_{2}^{1-y}) ightarrow \ ightarrow lnT_{2}+(1-y)lnV_{1}=lnT_{1}+(1-y)lnV_{2} ightarrow \ ightarrow lnT_{2}-lnT_{1}=(1-y)(lnV_{2}-lnV_{1})$

$ln(frac{T_{2}}{T_{1}})=(1-y)ln(frac{V_{2}}{V_{1}})$
$(1-y)=frac{ln(frac{T_{2}}{T_{1}})}{ln(frac{V_{2}}{V_{1}})}=frac{-ln(frac{T_{2}}{T_{1}})}{ln(frac{V_{1}}{V_{2}})}$

3)Também de (1), temos

$V_{1}^{y-1}=(frac{T_{2}}{T_{1}})V_{2}^{y-1} ightarrow V_{1}=(frac{T_{2}}{T_{1}})^{frac{1}{y-1}}V_{2}$

$V_{1}^{y}=(frac{T_{2}}{T_{1}})^{frac{y}{y-1}}V_{2}^{y} (2)$

$P_{1}V_{1}^{y}(V_{2}^{1-y}-V_{1}^{1-y})=P_{1}V_{1}^{y}V_{2}^{1-y}-P_{1}V_{1}^{y}V_{1}^{1-y}=P_{1}V_{1}^{y}V_{2}^{1-y}-P_{1}V_{1}$

Ao aplicar (2), chegamos à:

$P_{1}V_{1}^{y}V_{2}^{1-y}-P_{1}V_{1}=P_{1}(frac{T_{2}}{T_{1}})^{frac{y}{y-1}}V_{2}^{y}.V_{2}^{1-y}-P_{1}V_{1} ightarrow$

$ightarrow =P_{1}[(frac{T_{2}}{T_{1}})^{frac{y}{y-1}}V_{2}-V_{1}]$

Logo $W_{12}=frac{P_{1}V_{1}^{y}}{1-y}.(V_{2}^{1-y}-V_{1}^{1-y})=$

$=frac{P_{1}[(frac{T_{2}}{T_{1}})^{frac{y}{y-1}}V_{2}-V_{1}]}{frac{-ln(T_{2}/T_{1})}{ln(V_{1}/V_{2})}}=$ $=frac{P_{1}[V_{1}-V_{2}(frac{T_{2}}{T_{1}})^{frac{y}{y-1}}]}{frac{ln(T_{2}/T_{1})}{ln(V_{1}/V_{2})}}$

Logo, a resposta é a alternativa A.

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