Questão 287

ITA 2015

Física

Uma chapa metálica homogênea quadrada de 100 cm² de área, situada no plano xy de um sistema de referência, com um dos lados no eixo x tem o vértice inferior esquerdo na origem. Dela, retira-se uma porção circular de 5,00 cm de diâmetro com o centro posicionado em x = 2,50 cm e y = 5,00 cm. Determine as coordenadas do centro de massa restante.

(x_c; y_c) = (6,51, 5,00) cm

(x_c; y_c) = (5,61, 5,00) cm

(x_c; y_c) = (5,00, 5,61) cm

(x_c; y_c) = (5,00, 6,51) cm

(x_c; y_c) = (5,00, 5,00) cm

Gabarito:

(x_c; y_c) = (5,61, 5,00) cm

Resolução:

Primeiro temos de analisar qual seria a posição do centro de massa antes de retirar o círculo, que por lógica, podemos concluir que seja 5, 5.

Agora vamos calcular esse nosso centro de massa. Primeira análise importante de se fazer, o centro de massa para o posição y não irá mudar, pois foi retirada a mesma quantidade de material da metade superior e da metade inferior da placa, então: $y_{cm} = 5cm$

Então a única posição que irá mudar é a posição do centro de massa em x. Que podemos calcular da seguinte maneira:

Tomemos A1 como a área do círculo retirado, A2 como área da placa sem o círculo e $sigma$ como a densidade superficial da placa.

$x_{cm} = frac {M_t cdot x_{placa} - M_{circulo} cdot x_{circulo}}{M_2 cdot A_2}$

$x_{cm} = frac {sigma A_t cdot 5 -sigma cdot A_1 cdot x_{circulo}}{sigma A_2}$

$x_{cm} = frac {A_t cdot 5 - A_1 cdot x_{circulo}}{ A_2}$

Podemos escrever A2 como $A_2 = A_t - A_1$

$x_{cm} = frac {5 A_t - A_1 cdot x_{circulo}}{ A_t - A_1}$

$x_{cm} = frac {5 cdot 100 - A_1 cdot 2,5}{ 100 - A_1}$

$x_{cm} = frac {5 cdot 100 - pi r^2 cdot 2,5}{ 100 - pi r^2}$

$x_{cm} = frac {5 cdot 100 - pi cdot 2,5^2 cdot 2,5}{ 100 - pi cdot 2,5^2}$

$x_{cm} = frac {500 - 6,25 pi cdot 2,5}{ 100 - 6,25 pi}$

$x_{cm} = 5,61cm$

Então a posição do centro de massa será : (x_c; y_c) = (5,61, 5,00) cm

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