Questão 39292

ITA 2014

Matemática

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Para os inteiros positivos k e n com $k leq n$ sabe-se que $frac{n+1}{k+1}inom{n}{k}=inom{n+1}{k+1}$ . Então, o valor de $inom{n}{0}+frac{1}{2}inom{n}{1}+frac{1}{3}inom{n}{2}+...+frac{1}{n+1}inom{n}{n}$ é igual a

$2^n+1.$

$2^{n+1}+1.$

$frac{2^{n+1}+1}{n}.$

$frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$

$frac{2^n-1}{n}.$

Gabarito:

$frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$

Resolução:

Seja $S = inom{n}{0}+frac{1}{2}inom{n}{1}+frac{1}{3}inom{n}{2}+...+frac{1}{n+1}inom{n}{n}$ , teremos que:

$(n+1)S = (n+1)inom{n}{0}+frac{(n+1)}{2}inom{n}{1}+frac{n+1}{3}inom{n}{2}+...+frac{n+1}{n+1}inom{n}{n}$

Aplicando o que foi dado no enunciado...

$(n+1)S = inom{n+1}{1}+inom{n+1}{2}+inom{n+1}{3}+...+inom{n+1}{n+1}$

Daí, é imediato que:

$(n+1)S = 2^{n+1}-inom{n+1}{0} = 2^{n+1}-1$

$herefore S = frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$

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