Questão 28
ITA 2014
(ITA - 2014)
Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal.
Gabarito:
Resolução:
Com base no que o enunciado nos disse, conseguimos construir as duas figuras abaixo para nos auxiliar nos cálculos, onde a primeira imagem representa a visão por cima das seis esferas e do hexágono formado por elas e a segunda imagem representa a visão lateral com as seis esferas apoiadas sobre a superfície e a sétima apoiada sobre as demais.
Sabemos que o raio das esferas menores é R e o da maior é 2R. Queremos encontrar a altura h correspondente a distância do centro H da sétima esfera até a superfície verde da figura.
Olhando para o triângulo retângulo JRH, temos que:
Portanto, a altura h será .