Questão 21

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014 - 2ª fase) Considere as funções $mathrm{f} : mathbb{R} ightarrow mathbb{R}, , mathrm{f(x) = e}^{alpha x}$ , em que $alpha$ é uma constante real positiva, e $mathrm{g} : [0, infty [ ightarrow mathbb{R}, , mathrm{g(x) = sqrt x}$ . Determine o conjunto-solução da inequação $mathrm{(g circ f) (x) > (f circ g) (x)}$ .

Gabarito:

Resolução:

$f(x)=e^{alpha;x};;;;;alphainmathbb{R+};;;;f:mathbb{R}mapsto mathbb{R}$

$g(x)=sqrt{x};;;;g:mathbb{R+}mapsto mathbb{R}$

$gcirc f>fcirc;g;;;;;;;;;x>0;;;;;;;;;;gcirc;f:mathbb{R} mapsto mathbb{R};;;;;;;;;fcirc;g:mathbb{R+} mapsto mathbb{R}$

$sqrt{e^{alpha;x}}>e^{alphasqrt{x}}$

$e^{frac{alpha;x}{2}}>e^{alphasqrt{x}}$

$frac{alpha;x}{2}>alphasqrt{x}$

$x>2sqrt{x}$

Como x>0, podemos elevar a inequação ao quadrado sem alterar o sinal dela.

$x^2>4x$

$x^2-4x>0$

Vamos fazer a análise de sinais de $x^2-4=0$ para saber quando que $x^2-4$ é positivo ( $x^2-4>0$ )

$x^2-4x$ é positivo ( $x^2-4>0$ ) para valores de x<0 e x>4, porém $fcirc;g$ não está definida em x<0, logo só nos resta x>4, portanto:

$S=left { xinmathbb{R}|x>4 ight }$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações: I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ ; II. Se x ∈ e y ∈ ...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Considere os polinômios em x ∈ IR da forma p(x) = x5 + a3x3 + a2x2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética d...

Ver questão

Questão 8

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica: I. Se o produto AB fo...

Ver questão

Questão 10

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade Então, um valor possível para o determinante da inversa de M &eacu...

Ver questão