Questão 33221

ITA 2014

Matemática

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Sejam $mathrm{z, w in mathbb{C}}$ . Das afirmações:

I. $mathrm{|z + w|^2 + | z - w| ^ 2 = 2 (|z|^2 + |w| ^2);}$

II. $mathrm{(z + overline{w}) ^2 - (z - overline{w})^2 = 4 z overline{w};}$

III. $mathrm{|z + w| ^2 - |z - w| ^2 = 4 Re (z overline{w})}$

é (são) verdadeira(s)

apenas I

apenas I e II

apenas I e III

apenas II e III

todas

Gabarito:

todas

Resolução:

Afirmação 1: Verdadeira

$\|z+w|^2+|z-w|^2=2(|z|^2+|w|^2)\ \|z+w|^2+|z-w|^2=(z+w)*(overline{z+w})+(z-w)*(overline{z-w})\ \=(z+w)*(overline{z}+overline{w})+(z-w)*(overline{z}-overline{w})\ \(zoverline{z}+zoverline{w}+woverline{z}+woverline w)+(zz-w overline z - zoverline w -woverline w)\ \ ext{eliminamos};;zoverline{w}+woverline{z};e;-w overline z - zoverline w;; ext{pois ambos somados entre si }s ilde{a} ext{o iguais a 0}\\ = 2(zoverline z + woverline w)= 2(|z|^2 + |w|^2)$

Afirmação 2: Verdadeira

$\(z+overline w)^2-(z-overline w)^2 = 4zoverline w\ \ (z+overline w)^2-(z-overline w)^2 = (z^2 + 2zoverline w + (overline w)^2)-(z^2-2zoverline w+(overline w)^2)=4zoverline w$

Afirmação 3: Verdadeira

$\|z+w|^2-|z-w|^2=4Re(zoverline w)\ \|z+w|^2-|z-w|^2=(z+w)(overline {z+w}) - (z-w)(overline {z-w})\ \=(z+w)(overline z + overline w)-(z-w)(overline z - overline w)\ \=(zoverline z+z overline w + woverline z + woverline w) - (zoverline z - zoverline w - woverline z + woverline w)\ \= 2(zoverline w + woverline z )=2(zoverline w + (overline{zoverline w}))\ \= 2(Re(zoverline w)+Im(zoverline w)+Re(zoverline w)-Im(zoverline w))\ \=2(2Re(zoverline w))=4Re(zoverline w)$

Alternativa E

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