Questão 27

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014) (2ª fase) Determine o conjunto de todos os valores de $x in [0, 2pi]$ que satisfazem, simultaneamente, a

$mathrm{ frac{2 sen^{2}x + senx -1}{cosx -1} < 0}$ e $mathrm{tg , x + sqrt{3} < (1+ sqrt{3}cotg , x)cotg , x.}$

Gabarito:

Resolução:

Vamos analisar cada uma das desigualdades e depois descobrir a interseção entre os conjuntos soluções.

$(i)$ $dfrac{2sen^2(x)+sen(x)-1}{cos(x)-1} < 0$ :

Note que nessa expressão o valor de $cos(x)-1$ sempre será menor que zero, já que o maior valor que $cos(x)$ assume é $1$ , porém obrigatoriamente temos que $cos(x) eq 1$ . Logo temos: $cos(x) - 1 < 0$ . Com isso, o numerador terá de ser positivo, então temos que:

$2sen^2(x) + senx -1 > 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{1}{2} < sen(x) leq 1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{pi}{6} < x < frac{5pi}{6}$

$(ii)$ $tg(x) + sqrt{3} < (1+sqrt{3}cotg(x))cdot cotg(x)$ :

Desenvolvendo a expressão, temos:

$tg(x) + sqrt{3} < (1+sqrt{3}cotg(x))cdot cotg(x) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow tg(x) + sqrt{3} < left (1+frac{sqrt{3}}{tg(x)} ight ) cdot frac{1}{tg(x)} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow tg(x) + sqrt{3} < frac{tg(x)+sqrt{3}}{tg^2(x)} Leftrightarrow$

Aqui podemos multiplicar os dois termos por $tg^2(x)$ , já que $cos(x) eq 1 Rightarrow tg(x) eq 0$ . Desse modo, temos:

$Leftrightarrow tg^2(x)cdot(tg(x) + sqrt{3}) < tg(x)+sqrt{3} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (tg^2(x)-1)cdot(tg(x) + sqrt{3}) < 0$

Analisando os sinais dos dois termos, para a variável $tg(x)$ , temos:

Portanto, a função tangente estará definida entre: $tg(x) < -sqrt{3}$ e $-1 < tg(x) < 1$ . Dessa forma, temos que os possíveis valores de $x$ serão:

$0< x < frac{pi}{4}$ ou $frac{pi}{2}< x < frac{2pi}{3}$ ou $frac{3pi}{4}< x < pi$ ou $pi < x < frac{5pi}{4}$ ou $frac{3pi}{2}< x < frac{5pi}{3}$ ou $frac{7pi}{4}< x < 2pi$ .

Agora, fazendo a interseção entre esses dois conjuntos soluções, temos:

$S = left { xin mathbb{R}mid frac{pi}{6} < x < frac{pi}{4} ext{ ou } frac{pi}{2} < x < frac{2pi}{3} ext{ ou } frac{3pi}{3} < x < frac{5pi}{6} ight }$

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