Questão 20

ITA 2013

Física

[ITA - 1 FASE - 2013] Uma lua de massa m de um planeta distante, de massa $Mgg m$ descreve uma órbita elíptica com semieixo maior $a$ e semieixo menor $b$ , perfazendo um sistema de energia $E$ . A lei das áreas de Kepler relaciona a velocidade $v$ da lua no apogeu com sua velocidade $v$ no perigeu, isto é, $v(a - e) = v(a+e)$ , em que e é a medida do centro ao foco da elipse. Nessas condições, podemos afirmar que:

Gabarito:

Resolução:

Partimos da seguinte equação:

$v (a-e) = v(a+e)$

Vamos calcular a energia no perigeu e no apogeu da órbita, respectivamente:

$E_{P} = frac{mv^{2}}{2} - frac{GMm}{a-e}$

$E_{A} = frac{mv^{2}}{2} - frac{GMm}{a+e}$

Lembre que $E_{P} = E_{A} = E$

Da primeira equação, podemos substituir v na equação da energia do perigeu:

$E_{P} = frac{m}{2} cdot [vfrac{(a+e)}{(a-e)}]^{2} - frac{GMm}{a-e}$

$E_{P} = frac{mv^{2}}{2} cdot [frac{(a+e)}{(a-e)}]^{2} - frac{GMm}{a-e} (I)$

Perceba que podemos reescrever a equação da energia do apogeu da seguinte forma:

$frac{mv^{2}}{2} = E + frac{GMm}{a+e} (II)$

Analogamente, podemos reescrever a equação (I) da seguinte maneira:

$frac{mv^{2}}{2} = (E + frac{GMm}{a-e})cdot (frac{a-e}{a+e})^{2} (III)$

Igualando (II) e (III):

$E + frac{GMm}{a+e} = (E + frac{GMm}{a-e}) cdot (frac{a-e}{a+e})^{2}$

$E + frac{GMm}{a+e} = E cdot (frac{a-e}{a+e})^{2} + frac{GMm}{a-e} cdot frac{(a-e)^{2}}{(a+e)^{2}}$

$E + frac{GMm}{a+e} = E cdot (frac{a-e}{a+e})^{2} + {GMm} cdot frac{(a-e)}{(a+e)^{2}}$

$E - E cdot(frac{a-e}{a+e})^{2} = GMm cdot frac{(a-e)}{(a+e)^{2}} - frac{GMm}{a+e}$

$E [ 1 - (frac{a-e}{a+e})^{2}] = frac{GMm}{a+e} cdot [frac{(a-e)}{(a+e)} - 1]$

$E [ 1 - (frac{a-e}{a+e})^{2}] = frac{GMm}{a+e} cdot [frac{-a -e +a -e}{a+e}]$

$E [ frac{(a+e)^{2}-(a-e)^{2}}{(a+e)^{2}}] = frac{GMm}{a+e} cdot [frac{ -2e }{a+e}]$

$E [ frac{a^{2}+2ae +e^{2}-a^{2}+2ae -e^{2}}{(a+e)^{2}}] = frac{GMm}{(a+e)^{2}} cdot -2e$

$E cdot 4 ae = - GMm cdot 2e$

$E cdot 4 a = - 2GMm$

$E cdot 2 a = - GMm$

$E = frac{ GMm}{2a}$

Questões relacionadas

Questão 223

[ITA - 1 FASE - 2013] No interior de uma caixa de massa M, apoiada num piso horizontal, encontra-se fixada uma mola de constante elástica k presa a um corpo de massa m, em equilíbri...

Ver questão

Questão 3

[ITA - 1 FASE - 2013] Num experimento clássico de Young, representa a distância entre as fendas e a distância entre o plano destas fendas e a tela de projeção d...

Ver questão

Questão 4

[ITA - 1 FASE - 2013] Num certo experimento, três cilindros idênticos encontram-se em contato pleno entre si, apoiados sobre uma mesa e sob a ação de uma força ho...

Ver questão

Questão 5

[ITA - 1 FASE - 2013] Duas partículas, de massas e , estão respectivamente fixadas nas extremidades de uma barra de comprimento e massa desprezível. Tal sistema é en...

Ver questão