Questão 6

ITA 2013

Física

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 6)

Um mol de um gás ideal sofre uma expansão adiabática reversível de um estado inicial cuja pressão é Pi e o volume é Vi para um estado final em que a pressão é Pf e o volume é Vf . Sabe-se que γ = Cp/Cv é o expoente de Poisson, em que Cp e Cv são os respectivos calores molares a pressão e a volume constantes. Obtenha a expressão do trabalho realizado pelo gás em função de Pi , Vi , Pf , Vf e γ.

Gabarito:

Resolução:

Pela primeira lei da termodinâmica para transformações adiabáticas:

$W = -Delta U$

Como a transformação é reversível:

$Delta U = nC_{v}Delta T$

$W = - nC_{v}Delta T$

Logo:

$W = -nC_{v}(T_{f} - T_{i}) Rightarrow W = nC_{v}(T_{i} - T_{f})$

Pela equação de Claperyon:

$PV = nRT Rightarrow T = frac{PV}{nR}$

Substituindo na equação do trabalho:

$W = nC_{v}(frac{P_{i}V_{i}}{nR} - frac{p_{f} - V_{f}}{nR})$

$W = frac{C_{v}}{R} = (P_{i} V_{i} - P_{f}V_{f})$

Relação de Mayor: $C_{p} - C_{v} = R$

Logo:

$oxed {W = frac{C_{v}}{C_{p} - C_{v}}(p_{i}V_{i} - P_{f} V_{f}) = frac{1}{gamma -1}(P_{iV_{i}} - P_{f}V_{f})}$

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