Questão 3

ITA 2013

Física

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 3)

Num plano horizontal x × y, um projétil de massa m é lançado com velocidade v, na direção θ com o eixo x, contra o centro de massa de uma barra rígida, homogênea, de comprimento L e massa M, que se encontra inicialmente em repouso a uma distância D de uma parede, conforme a figura. Após uma primeira colisão elástica com a barra, o projétil retrocede e colide elasticamente com a parede. Desprezando qualquer atrito, determine o intervalo de valores de θ para que ocorra uma segunda colisão com a barra, e também o tempo decorrido entre esta e a anterior na parede.

Gabarito:

Resolução:

Ao analisarmos o primeiro choque entre o projétil e a barra, na direção horizontal, da conservação da quantidade de movimento, vem:

$Q_{x antes} = Q_{x antes}$

$mv cdot cos heta = mv_{x} + Mv (I)$

Sendo o choque elástico, isto é, o coeficiente de restituição é igual a um. Obtemos:

$frac{v_{x} - V}{v cdot cos heta} = 1 Rightarrow v = v cdot cos heta + v_{x} (II)$

Fazendo a substituição da equação II em I:

$mv cdot cos heta = mv_{x} + M(v cdot cos heta + v _{x})$

$v_{x} = frac{(m-M) v cdot cos heta}{(m+M)}$

Substituindo esse valor em II:

$v = frac{2mv cdot cos heta}{(m+M)}$

Podemos calcular o tempo decorrido entre o primeiro choque do projéticl com a barra até o choque do projétil com a parede por meio da seguinte equação:

$T = frac{D}{-v_{x}}$

$T = frac{D(m+M)}{(M-m)v cdot cos heta}$

Nesse instante, a distância entre a parede e a barra é:

$X_{B} = D + v cdot T$

$X_{B} = D + frac{2mv cdot cos heta}{(m+M) } cdot frac{D(m+M)}{(M-m) cdot v cdot cos heta}$ $v = frac{2mv cdot cos heta}{(m+M)}$

Assim:

$x_{B} = D(1 + frac{2m}{M-m})$

Para que o segundo choque ocorra entre o projétil, que após rebater na parede voltará com uma velocidade -v_xe a barra, a barra e o projétil terão que ter a abscissa igual:

$X_{P} = X_{B}$