Questão 8

ITA 2013

Física

[ITA - 1 FASE - 2013] A figura mostra um sistema, livre de qualquer força externa, com um êmbolo que pode ser deslocado sem atrito em seu interior. Fixando o êmbolo e preenchendo o recipiente de volume $V$ com um gás ideal a pressão $P$ , e em seguida liberando o êmbolo, o gás expande-se adiabaticamente. Considerando as respectivas massas $m_{c}$ , do cilindro, e $m_{e}$ , do êmbolo, muito maiores que a massa $m_{g}$ do gás, e sendo $gamma$ o expoente de Poisson, a variação da energia interna $Delta U$ do gás quando a velocidade do cilindro for $v_{c}$ é dada aproximadamente por

$frac{3PV^{gamma }}{2}$

$frac{3PV}{2(gamma -1)}$

$frac{-m_{c}(m_{e}+m_{c})v_{c}^{2}}{2m_{e}}$

$frac{-(m_{c}+m_{e})v_{c}^{2}}{2}$

$frac{-m_{e}(m_{e}+m_{c})v_{c}^{2}}{2m_{c}}$

Gabarito:

$frac{-m_{c}(m_{e}+m_{c})v_{c}^{2}}{2m_{e}}$

Resolução:

Podemos usar a variação de movimento, lembrando que anteriormente o sistema estava em repouso então a quantidade de movimento é zero:

$\Qantes=QdepoisRightarrow 0=mc.vc+me.ve\ \0=mc.vc+me.veRightarrow ve=-frac{mc.vc}{me}$

Então a energia cinética quando o êmbolo alcança a velocidade ve e o cilindro vc vai ser:

$\Ec=frac{mc.vc^2}{2}+frac{me.ve^2}{2}Rightarrow Ec=frac{mc.vc^2}{2}+frac{me.(-frac{mc.vc}{me})^{2}}{2}\ Ec=frac{mc.vc^2}{2}+frac{frac{me.mc^2.vc^2}{me^2}}{2}Rightarrow Ec=frac{mc.vc^2}{2}+frac{mc^2.vc^2}{2.me}\ \ Ec=frac{me.mc.vc^2+mc^2.vc^2}{2.me}Rightarrow Ec=frac{mc.vc^2}{2.me}cdot (me+mc)$

Pela primeira lei da termo dinâmica, temos: $Q=Delta U+ au$ como a expansão foi adiabática não houve troca de calor com o ambiente então o Q=0 logo: $Delta U=- au$

Sendo o trabalho a variação de energia cinética do sistema então:

$Delta U=-frac{mc.vc^2}{2.me}cdot (me+mc)$

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