Questão 6

ITA 2013

Física

[ITA - 1 FASE - 2013] Uma corda, de massa desprezível, tem fixada em cada uma de suas extremidades, $F$ e $G$ , uma partícula de massa $m$ . Esse sistema encontra-se em equilíbrio apoiado numa superfície cilíndrica sem atrito, de raio $r$ , abrangendo um ângulo de 90° e simetricamente disposto em relação ao ápice $P$ do cilindro, conforme mostra a figura. Se a corda for levemente deslocada e começa a escorregar no sentido anti-horário, o ângulo $heta equiv F O P$ em que a partícula na extremidade $F$ perde contato com a superfície é tal que

$2 , mathrm{cos} , heta = 1$

$2 , mathrm{cos} , heta - mathrm{sen} , heta = sqrt2$

$2 , mathrm{sen} , heta + mathrm{cos} , heta = sqrt 2$

$2 , mathrm{cos} , heta + mathrm{sen} , heta = sqrt 2$

$2 , mathrm{cos} , heta + mathrm{sen} , heta = sqrt 2 / 2$

Gabarito:

$2 , mathrm{cos} , heta + mathrm{sen} , heta = sqrt 2$

Resolução:

Calculando H₀:

$cos (45 ^{circ}) = frac{H_{0}}{R}$

$oxed {H_{0} = R frac{sqrt{2}}{2}}$

Agora, sabendo a altura podemos encontrar a energia mecânica total do sistema em relação à altura h₀:

$E_{m i} = 2 cdot mgH_{0}$

$E_{m i} = 2 cdot mg cdot R cdot frac{sqrt{2}}{2}$

$oxed {E_{m i} = mgR sqrt{2}}$

Analisar-se-à, agora, a situação após perturbarmos o equilíbrio. Antes disso, duas coisas devem ser levadas em consideração:

A velocidade de ambas as bolinhas é exatamente igual devido ao vínculo geométrico compartilhado pelo fato da corda manter-se tensionada durante todo o tempo;
O ângulo entre as duas bolinhas continuará sendo sempre 90º, pelo mesmo motivo de 1;

Pela geometria da imagem, encontramos que:

$cos heta = frac{H_{1}}{R}$

$oxed {H_{1} = Rcos heta}$

$sen heta = frac{H_{2}}{R}$

$oxed {H_{2} = Rsen heta}$

Agora podemos usar o princípio da conservação da energia mecânica para equacionar a soma da energia cinética das bolinhas e a energia potencial das bolinhas e, por sua vez, esta deve ser igual à energia mecânica total do sistema encontrada inicialmente:

$E_{c1} + E_{c2} + E_{p1} + E_{p2} = E_{mi}$